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résultante de la fraction ${\frac {1}{1-z{\cfrac {\varphi (\alpha x)}{\alpha }}}},$ comme on va le voir dans les Exemples suivants.

19. Exemple V. — Reprenons l’équation générale de l’Exemple IV, savoir

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots ,$

et comparant avec l’équation (H), on aura, après avoir divisé par $b,$

$\alpha ={\frac {a}{b}},\quad \varphi (x)={\frac {cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots }{b}}.$

Donc

${\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}={\frac {cay^{2}}{b^{2}}}-{\frac {da^{2}y^{3}}{b^{3}}}+{\frac {ea^{3}y^{4}}{b^{4}}}-{\frac {fa^{4}y^{5}}{b^{5}}}+\ldots ,$

de sorte que la fraction

${\frac {1}{1-z{\cfrac {\varphi (\alpha x)}{\alpha }}}}$

sera

${\frac {1}{1-z{\cfrac {cay^{2}}{b^{2}}}+z{\cfrac {da^{2}y^{3}}{b^{3}}}-z{\cfrac {ea^{3}y^{4}}{b^{4}}}+\ldots }}.$

Réduisons cette fraction en série, et supposons d’abord que la série soit ordonnée par rapport à la lettre $b,$ il est clair qu’à cause que les dimensions de $y$ et ${\frac {1}{b}}$ sont partout les mêmes, cette série sera de la forme suivante

$1+{\frac {\mathrm {P} y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {\mathrm {Q} y^{3}}{b^{3}}}+{\frac {\mathrm {R} y^{4}}{b^{4}}}-{\frac {\mathrm {S} y^{5}}{b^{5}}}+\ldots ,$

de sorte qu’en multipliant en croix et comparant les termes, on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&acz,\\\mathrm {Q} =&a^{2}dz,\\\mathrm {R} =&a^{3}ez+acz\mathrm {P} ,\\\mathrm {S} =&a^{4}fz+a^{2}dz\mathrm {P} +acz\mathrm {Q} ,\\\mathrm {T} =&a^{5}gz\,+a^{3}ez\mathrm {P} +a^{2}dz\mathrm {Q} +acz\mathrm {R} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or, si l’on développe ces valeurs en les ordonnant par rapport aux puis-