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deviendront

${\begin{aligned}x^{2}+\left({\frac {m}{2}}+l\right)x+{\frac {l^{2}}{2}}+{\frac {ml}{4}}+{\frac {4n-m^{2}}{8}}+{\frac {4nm-m^{3}-8p}{16l}}=0,\\x^{2}+\left({\frac {m}{2}}-l\right)x+{\frac {l^{2}}{2}}-{\frac {ml}{4}}+{\frac {4n-m^{2}}{8}}-{\frac {4nm-m^{3}-8p}{16l}}=0,\end{aligned}}$

équations qui sont les mêmes que celles du n^o 29 en faisant $l=z$ et en substituant dans ces dernières à la place de $y$ sa valeur en $z,$ laquelle est (28)

$y={\frac {4z^{2}+4n-m^{2}}{8}}.$

Les méthodes que nous venons d’analyser renferment, si je ne me trompe, toutes les méthodes connues pour la résolution des équations du quatrième degré ; il en faut seulement excepter celles de MM. Tschirnaus, Euler et Bezout, lesquelles méritent un examen particulier ; c’est l’objet qu’il nous reste à remplir dans cette Section.

38. Et d’abord il est clair que pour pouvoir résoudre l’équation du quatrième degré, suivant la méthode de M. Tschirnaus, il n’est pas nécessaire de faire disparaître tous les termes intermédiaires, comme dans celles du troisième, mais qu’il suffit d’y faire disparaître le second et le quatrième terme où l’inconnue se trouve élevée à des puissances impaires car alors on aura une équation résoluble à la manière de celles du second degré. Pour cela on prendra donc, comme on a fait pour le troisième degré (10), l’équation subsidiaire

$x^{2}=bx+a+y,$

qui contient deux indéterminées $a$ et $b\,;$ et éliminant par son moyen l’inconnue $x$ de l’équation proposée

$x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q=0,$

on aura (14) une transformée en $y$ du quatrième degré, dans laquelle le coefficient de $y^{3}$ sera une fonction de $a$ et $b$ de la première dimension, celui de $y^{2}$ une fonction de $a$ et $b$ de la seconde dimension, celui de $y$