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d’où il s’ensuit que l’équation en $l,$ étant ordonnée par rapport à $l^{2},$ montera au troisième degré, c’est-à-dire qu’elle sera du sixième, ayant toutes les puissances de l’inconnue paires, comme nous l’avons trouvé plus haut par une autre voie c’est à cette circonstance heureuse qu’on doit la résolution des équations du quatrième degré. On voit aussi par là la raison pourquoi, dans le numéro précédent, l’équation en $l$ est la même que celle en $z,$ car il est clair (32) que les valeurs de $z$ sont les mêmes que celles que nous venons de trouver pour $l.$

37. On peut encore remarquer que, puisque l’on a

$-m=a+b+c+d,$

et que les valeurs de $f$ sont

$-a-b,\quad -a-c,\quad -a-d,\quad -b-c,\quad -b-d,\quad -c-d,$

on aura les mêmes valeurs pour la quantité $m-f\,;$ d’où il s’ensuit que l’équation en $f$ doit être telle, qu’elle demeure, la même en y substituant $m-f$ à la place de $f\,;$ donc, si l’on fait $f={\frac {m}{2}}+l,$ ce qui donne $m-f={\frac {m}{2}}-l,$ il faudra que la transformée en $l$ soit telle, qu’elle demeure la même en y changent $l$ en $-l\,;$ par conséquent elle ne devra renfermer que des puissances paires de $l.$

Or, si l’on substitue cette valeur de $f$ dans l’expression de $g$ du n^o 35, on a

$g={\frac {l^{2}}{2}}+{\frac {ml}{4}}+{\frac {4n-m^{2}}{8}}+{\frac {4nm-m^{3}-8p}{16l}}\,;$

et les deux facteurs

$x^{2}+fx+g=0,\quad x^{2}+(m-f)x+n-g-f(m-f)=0,$

dans lesquels a été décomposée l’équation

$x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q=0,$