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que nous avons déjà considéré dans le n^o  34. Mais il n’est pas même nécessaire de supposer $m=0$ pour anéantir tous les termes où l’inconnue se trouve élevée à des puissances impaires ; il suffit pour cela de faire disparaître le second terme en supposant, suivant la méthode connue,

$f=l+{\frac {3m}{6}}=l+{\frac {m}{2}},$

et l’on verra que tous les autres termes s’évanouiront en même temps, de sorte qu’on aura une équation en $l$ qui ne renfermera que des puissances de $l^{2},$ laquelle sera

$l^{6}-\left({\frac {3m^{2}}{4}}-2n\right)l^{4}+\left({\frac {3m^{4}}{16}}-m^{2}n+mp+n^{2}-4q\right)l^{2}$

$-\left({\frac {m^{3}}{8}}-{\frac {mn}{2}}+p\right)^{2}=0,$

équation qui est la même que la réduite en $t$ du n^o  32, en y faisant $t=4l^{2},$ de sorte que, comme on a supposé dans le même numéro $t=s^{2}$ et $s=2z,$ on aura $l=z\,;$ d’où l’on voit que la quantité $l=f-{\frac {m}{2}}$ dans les formules précédentes sera la même que la quantité $z$ des n^os 27 et suivants, et cela sans supposer $m=0,$ ce qui sert à montrer d’autant mieux la liaison des solutions que nous venons d’examiner.

36. Voyons maintenant la raison pourquoi la méthode de Descartes conduit à une réduite du sixième degré telle que, en y faisant évanouir le second terme, tous ceux qui renferment des puissances impaires de l’inconnue s’évanouissent aussi, comme nous venons de le trouver ; pour cela on considérera que, puisque l’équation du second degré $x^{2}+fx+g=0$ doit être un diviseur exact de la proposée dont les racines sont $a,b,c,d,$ il faut nécessairement que la même équation renferme deux quelconques de ces quatre racines. Ainsi l’on aura

$-f=a+b,\quad g=ab,$

ou

$-f=a+c,\quad g=ac,$

ou

$-f=a+d,\quad g=ad,$