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Au contraire, si $m^{3}-4mn+8p$ est une quantité négative, il faudra alors prendre, ou

${\sqrt {t'}}\ \ =-\theta '\ \ \quad {\text{et}}\quad {\sqrt {t''}}=\pm \theta '',\quad {\sqrt {t'''}}=\pm \theta ''',$

ou

${\sqrt {t''}}\ =-\theta ''\ \quad {\text{et}}\quad {\sqrt {t'}}\ =\pm \theta '\ ,\quad {\sqrt {t'''}}=\pm \theta ''',$

ou

${\sqrt {t'''}}=-\theta '''\quad {\text{et}}\quad {\sqrt {t'}}\ =\pm \theta '\ ,\quad {\sqrt {t''}}\ =\pm \theta '',$

ce qui donnera, pour les quatre racines cherchées, ces valeurs

${\begin{aligned}&{\frac {-m+\theta '+\theta ''-\theta '''}{4}},\\&{\frac {-m+\theta '-\theta ''+\theta '''}{4}},\\&{\frac {-m-\theta '+\theta ''+\theta '''}{4}},\\&{\frac {-m-\theta '-\theta ''-\theta '''}{4}}.\end{aligned}}$

33. La méthode de Ferrari, que nous venons d’examiner, nous a conduits à décomposer l’équation du quatrième degré

$x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q=0$

en ces deux-ci du second degré (29)

${\begin{aligned}x^{2}+\left({\frac {m}{2}}+z\right)x+y+{\frac {my-p}{2z}}=&0,\\x^{2}+\left({\frac {m}{2}}-z\right)x+y-{\frac {my-p}{2z}}=&0,\end{aligned}}$

de la résolution desquelles on peut tirer les quatre racines de la proposée, comme on l’a vu plus haut ; on pourrait aussi obtenir cette décomposition d’une manière plus simple et plus directe, en supposant d’abord que l’équation proposée soit le produit de deux équations du second degré telles que

$x^{2}+fx+g=0,\quad x^{2}+hx+k=0,$