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d’où l’on tire

$m^{3}-4mn+8p={\sqrt {t'}}{\sqrt {t''}}{\sqrt {t'''}}$^[1].

Donc, si l’on dénote par $\theta ',\theta '',\theta '''$ les valeurs des radicaux ${\sqrt {t'}},{\sqrt {t''}},{\sqrt {t'''}}$ prises positivement, en sorte que l’on ait

${\sqrt {t'}}=\pm \theta ',\quad {\sqrt {t''}}=\pm \theta '',\quad {\sqrt {t'''}}=\pm \theta ''',$

il faudra, lorsque $m^{3}-4mn+8p$ est une quantité positive, prendre, ou

${\sqrt {t'}}\ \ =\theta '\ \ \quad {\text{et}}\quad {\sqrt {t''}}=\pm \theta '',\quad {\sqrt {t'''}}=\pm \theta ''',$

ou

${\sqrt {t''}}\ =\theta ''\ \quad {\text{et}}\quad {\sqrt {t'}}\ =\pm \theta '\ ,\quad {\sqrt {t'''}}=\pm \theta ''',$

ou

${\sqrt {t'''}}=\theta '''\quad {\text{et}}\quad {\sqrt {t'}}\ =\pm \theta '\ ,\quad {\sqrt {t''}}\ =\pm \theta '',$

les signes ambigus devant être les mêmes pour les quantités $\theta '',\theta ''',$ ou $\theta ',\theta ''',$ ou $\theta ',\theta '',$ et l’on aura dans ce cas pour les quatre racines de la proposée les valeurs suivantes

${\begin{aligned}&{\frac {-m+\theta '+\theta ''+\theta '''}{4}},\\&{\frac {-m+\theta '-\theta ''-\theta '''}{4}},\\&{\frac {-m-\theta '+\theta ''-\theta '''}{4}},\\&{\frac {-m-\theta '-\theta ''+\theta '''}{4}}.\end{aligned}}$

1. Cette formule a été obtenue en extrayant la racine carrée des deux membres de la précédente, et celle-ci indique seulement que le produit des radicaux ${\sqrt {t'}},{\sqrt {t''}},{\sqrt {t'''}}$ est égal à $\pm (m^{3}-4mn+8p).$ Lagrange remplace le signe ambigu $\pm$ par $+,$ mais c’est le signe $-$ qu’il fallait prendre ; en effet, les radicaux ${\sqrt {t'}},{\sqrt {t''}},{\sqrt {t'''}}$ représentent les valeurs des quantités
   $a+b-c-d,\quad a+c-b-d,\quad a+d-b-c,$

   qui ont pour produit la fonction symétrique

   ${\begin{aligned}&(a+b+c+d)^{3}-4(a+b+c+d)(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\\&\qquad +8(abc+abd+acd+bcd),\end{aligned}}$

   dont la valeur est $-m^{3}+4mn-8p.$ On a donc

   ${\sqrt {t'}}{\sqrt {t''}}{\sqrt {t'''}}=-m^{3}+4mn-8p,$

   quels que soient les coefficients $m,n,p,$ réels ou imaginaires. Cette relation détermine complètement dans tous les cas l’un des radicaux ${\sqrt {t'}},{\sqrt {t''}},{\sqrt {t'''}}$ quand les valeurs des deux autres ont été fixées. $\qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)