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et que $q$ soit la valeur de $y,$ on aura l’expression d’une fonction quelconque $\psi (q),$ en mettant dans la formule (I) $q$ à la place de $p,$ $y$ à la place de $x,$ ${\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}$ à la place de $\varphi (y),$ et faisant ensuite $y=1$ après les différentiations.

Donc, puisque $q=y={\frac {x}{\alpha }},$ on aura

(K)

$\left\{{\begin{aligned}\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)=&\psi (y)+{\frac {\varphi (\alpha y)\psi '(y)}{\alpha }}+{\frac {1}{2\alpha ^{2}}}{\frac {d\varphi (\alpha y)^{2}\psi '(y)}{dy}}\\&+{\frac {1}{2.3.\alpha ^{3}}}{\frac {d^{2}\varphi (\alpha y)^{3}\psi '(y)}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4.\alpha ^{4}}}{\frac {d^{3}\varphi (\alpha y)^{4}\psi '(y)}{dy^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

où la variable $y$ doit être supposée égale à $1$ après toutes les différentiations.

18. Donc, comme $\psi (y)=\int \psi '(y)dy,$ si l’on prend la fraction

${\frac {\psi '(y)}{z\left[1-z{\cfrac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}\right]}}$

et qu’on la développe suivant les puissances de $z,$ ce qui donnera

${\frac {\psi '(y)}{z}}+{\frac {\varphi (\alpha y)\psi '(y)}{\alpha }}+z{\frac {[\varphi (\alpha y)]^{2}\psi '(y)}{\alpha ^{2}}}+z^{2}{\frac {[\varphi (\alpha y)]^{3}\psi '(y)}{\alpha ^{3}}}+\ldots ,$

qu’ensuite on y change ${\frac {1}{z}}$ en $\int dy,$ $z$ en ${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dy}},$ $z^{2}$ en ${\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}},$ $z^{3}$ en ${\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}}{dy^{3}}},$ et ainsi des autres puissances de $z\,;$ et qu’après avoir exécuté les différentiations indiquées de cette manière on fasse $y=1,$ on aura la valeur de $\psi ({\frac {x}{\alpha }}),$ $x$ étant une des racines de l’équation (H),

$\alpha -x+\varphi (x)=0.$

Ainsi l’on pourra faire en sorte que la série qui représente la valeur de $\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)$ soit ordonnée par rapport à telle lettre qu’on voudra ; car pour cela il n’y aura qu’à ordonner, par rapport à cette même lettre, la série