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mais on a

$ab+ac+ad+bc+bd+cd=n,$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=m^{2}-2n\,;$

donc, puisque

$(a+b-c-d)^{2}=s^{2}=t,$

on aura

$t=m^{2}-4n+4(ab+cd),$

c’est-à-dire

$t=m^{2}-4n+4u\,;$

de sorte que, pour avoir la réduite cherchée en $t,$ il n’y aura qu’à substituer, dans celle en $u$ du n^o 30, ${\frac {t-m^{2}+4n}{4}}$ à la place de $u\,;$ et l’on aura celle-ci

$t^{3}-\left(3m^{2}-8n\right)t^{2}+\left(3m^{4}-16m^{2}n+16n^{2}+16mp-64q\right)t$

$-\left(m^{3}-4mn+8p\right)^{2}=0.$

Maintenant, si l’on suppose que $t',t''$ et $t'''$ soient les trois racines de cette équation, on aura (hypothèse)

$(a+b-c-d)^{2}=t',\quad (a+c-b-d)^{2}=t'',\quad (a+d-b-c)^{2}=t'''\,;$

d’où, en tirant la racine carrée, on aura

$a+b-c-d={\sqrt {t'}},\quad a+c-b-d={\sqrt {t''}},\quad a+d-b-c={\sqrt {t'''}}\,;$

combinant ces trois équations avec l’équation

$a+b+c+d=-m,$

on en tirera les valeurs de chacune des quatre racines $a,b,c,d\,;$ on aura donc

${\begin{aligned}a=&{\frac {-m+{\sqrt {t'}}+{\sqrt {t''}}+{\sqrt {t'''}}}{4}},\\b=&{\frac {-m+{\sqrt {t'}}-{\sqrt {t''}}-{\sqrt {t'''}}}{4}},\\c=&{\frac {-m-{\sqrt {t'}}+{\sqrt {t''}}-{\sqrt {t'''}}}{4}},\\d=&{\frac {-m-{\sqrt {t'}}-{\sqrt {t''}}+{\sqrt {t'''}}}{4}}.\end{aligned}}$