Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/267

32. On pourrait résoudre encore l’équation du quatrième degré d’une manière plus simple à l’aide de la réduite dont la racine serait (29)

$z={\frac {c+d-a-b}{2}}\quad {\text{ou bien}}\quad s=c+d-a-b,$

en faisant, pour plus de simplicité, $s=2z.$ Pour savoir d’abord de quel degré et de quelle forme doit être cette équation, il n’y a qu’à faire dans la quantité $c+d-a-b$ toutes les permutations possibles entre les lettres $a,b,c,d,$ et il en résultera les six suivantes

${\begin{aligned}&a+b-c-d,\\&a+c-b-d,\\&a+d-c-b,\\&c+d-a-b,\\&b+d-a-c,\\&b+c-a-d,\end{aligned}}$

qui seront donc les racines de la réduite en $s,$ de sorte que cette réduite sera nécessairement du sixième degré ; mais, comme les six quantités précédentes sont deux à deux égales et de signes contraires, il s’ensuit que la réduite ne pourra contenir que des puissances paires de l’inconnue $s,$ en sorte qu’elle sera résoluble à la manière des équations du troisième degré.

Donc, si l’on fait $s^{2}=t,$ on aura une réduite en $t$ du troisième degré et dont les trois racines seront

$(a+b-c-d)^{2},\quad (a+c-b-d)^{2},\quad (a+d-b-c)^{2}.$

Ainsi l’on pourra trouver cette équation en cherchant la valeur de ses coefficients, comme nous l’avons fait plus haut à l’égard de la réduite en $u$ (30) ; mais, sans entreprendre un nouveau calcul pour cet objet, il suffira de remarquer que le carré de $a+b-c-d$ est

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2cd-2ac-2ad-2bc-2bd\,;$