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31. Voyons maintenant comment, en connaissant une des valeurs de $u,$ on pourra trouver les quatre racines $a,b,c,d.$ Puisque

$u=ab+cd\quad {\text{et}}\quad abcd=q,$

il est clair que les deux quantités $ab$ et $cd$ seront les racines de cette équation du second degré

$t^{2}-ut+q=0,$

de sorte qu’en nommant $t'$ et $t''$ ces deux racines on connaîtra les deux produits

$ab=t'\quad {\text{et}}\quad cd=t''\,;$

de plus on a

$-p=ab(c+d)+cd(a+b)=t'(c+d)+t''(a+b),$

et comme

$a+b+c+d=-m,$

on aura

$a+b={\frac {p-mt'}{t'-t''}},\quad c+d={\frac {p-mt''}{t''-t'}}\,;$

donc, puisque

$ab=t'\quad {\text{et}}\quad cd=t'',$

il est clair que $a$ et $b$ seront les racines de cette équation du second degré

$x^{2}-{\frac {p-mt'}{t'-t''}}x+t'=0,$

et que $c$ et $d$ seront celles de l’équation

$x^{2}-{\frac {p-mt''}{t''-t'}}x+t''=0.$

On voit par là qu’il suffit de connaître une des racines de la réduite en $u$ pour avoir les quatre racines $a,b,c,d$ de la proposée, et que chacune des racines de cette réduite donnera toujours les mêmes quatre racines $a,b,c,d\,;$ car si, au lieu de prendre $u=ab+cd,$ on eût pris $u=ac+bd$ ou $u=ad+bc,$ il n’y eût eu d’autre changement dans nos formules sinon que $b$ eût été changé en $c$ ou en $d,$ et vice versâ.