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Or il est facile de voir que ces valeurs de $\mathrm {A,B,C}$ doivent être données par les coefficients $m,n,p,q$ de la proposée, et cela sans aucune extraction de racines, puisqu’elles demeurent les mêmes, quelque permutation qu’on fasse entre les racines $a,b,c,d$ de cette équation ; d’où il suit que chacune d’elles ne peut avoir qu’une seule et même valeur. En effet, ayant

${\begin{aligned}-m=&a+b+c+d,\\n=&ab+ac+ad+bc+bd+cd,\\-p=&abc+abd+acd+bcd,\\q=&abcd,\end{aligned}}$

on aura d’abord

$\mathrm {A} =n\,;$

ensuite, pour trouver $\mathrm {B} ,$ on observera que

$a(bc+bd+cd)=-p-bcd,$

et de même

$b(ac+ad+cd)=-p-acd,$

et ainsi des autres, de sorte qu’on aura

$\mathrm {B} =(a+b+c+d)(-p)-4abcd,$

c’est-à-dire

$\mathrm {B} =mp-4q.$

Enfin, pour avoir $\mathrm {C} ,$ on remarquera que

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=m^{2}-2n\,;$

en sorte que la partie $abcd\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)$ deviendra $\left(m^{2}-2n\right)q\,;$ et, pour avoir l’autre partie, on fera le carré de $p$ et l’on en déduira

${\begin{aligned}a^{2}b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}d^{2}+a^{2}c^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}d^{2}=&p^{2}-2abcd(ab+ac+bc+ad+bd+cd)\\=&p^{2}-2nq,\end{aligned}}$

de sorte que l’on aura

$\mathrm {C} =\left(m^{2}-4n\right)q+p^{2}.$

Moyennant quoi notre réduite sera

$u^{3}-nu^{2}+(mp-4q)u-(m^{2}-4n)q-p^{2}=0,$

qui est la même que celle en $y$ du n^o 27, en supposant $u=2y.$