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Cette valeur de $y$ nous fait voir d’abord, pourquoi la réduite en y est du troisième degré. En effet il est visible que la quantité $y$ doit avoir autant de valeurs différentes qu’on en pourra former par toutes les permutations possibles des racines $a,b,c,d$ dans l’expression ${\frac {ab+cd}{2}}\,:$ on ne peut avoir de cette manière que les trois quantités suivantes

${\frac {ab+cd}{2}},\quad {\frac {ac+bd}{2}},\quad {\frac {ad+cb}{2}},$

de sorte que l’équation dont y sera la racine, devra donner chacune de ces trois quantités et, par conséquent, devra être du troisième degré.

30. On peut donc déduire de cette remarque une manière directe de parvenir à la réduite du quatrième degré, et par son moyen à la résolution générale de ce degré. Car, puisque la combinaison $ab+cd$ des quatre racines $a,b,c,d$ est telle qu’elle n’admet que trois variations, savoir

$ab+cd,\quad ac+bd,\quad ad+cb,$

il s’ensuit d’abord que si l’on fait

$ab+cd=u,$

on aura une équation en $u$ du troisième degré, dont les racines seront

$ab+cd,\quad ac+bd,\quad ad+cb,$

qui sera par conséquent de cette forme

$u^{3}-\mathrm {A} u^{2}+\mathrm {B} u-\mathrm {C} =0,$

où l’on aura, par la nature des équations,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&ab+cd+ac+bd+ad+cb,\\\mathrm {B} =&(ab+cd)(ac+bd)+(ab+cd)(ad+cb)+(ac+bd)(ad+cb),\\\mathrm {C} =&(ab+cd)(ac+bd)(ad+cb),\end{aligned}}$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&ab+ac+ad+bc+bd+cd,\\\mathrm {B} =&a^{2}(bc+bd+cd)+b^{2}(ac+ad+cd)+c^{2}(ab+ad+bd)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +d^{2}(ab+ac+bc),\\\mathrm {C} =&abcd\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)+a^{2}b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}d^{2}+a^{2}c^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}$