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au cube ; d’où l’on peut conclure d’abord que, quelque valeur de $y$ que l’on emploie dans l’expression de $x,$ on aura toujours les mêmes quatre racines.

29. Mais, pour éclaircir encore davantage cette matière, on remarquera que, dès que la réduite en y a lieu, ce qui peut arriver de trois manières différentes à cause qu’elle a trois racines, on peut donner à la proposée la forme

$\left(x^{2}+{\frac {mx}{2}}+y\right)^{2}-z^{2}\left(x+{\frac {my-p}{2z^{2}}}\right)^{2}=0,$

comme on l’a fait au n^o 27 ; par où l’on voit qu’elle n’est autre chose que le produit de ces deux-ci

${\begin{aligned}x^{2}+{\frac {mx}{2}}+y+z\left(x+{\frac {my-p}{2z^{2}}}\right)=&0,\\x^{2}+{\frac {mx}{2}}+y-z\left(x+{\frac {my-p}{2z^{2}}}\right)=&0,\end{aligned}}$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}x^{2}+\left({\frac {m}{2}}+z\right)x+y+{\frac {my-p}{2z}}=&0,\\x^{2}+\left({\frac {m}{2}}-z\right)x+y-{\frac {my-p}{2z}}=&0,\end{aligned}}$

de sorte que leur résolution donnera toujours les mêmes quatre racines de la proposée, quelle que soit la racine qu’on substituera à $y.$

Nommons maintenant $a,b,c,d$ les quatre racines de la proposée ; et il faudra que deux de ces racines soient renfermées dans l’une des deux équations précédentes, et que les deux autres le soient dans l’autre ; de sorte qu’on aura, par la nature des équations,

${\begin{alignedat}{2}a+b=&-{\frac {m}{2}}-z,\qquad &ab=y+{\frac {my-p}{2z}},\\c+d=&-{\frac {m}{2}}+z,&cd=y-{\frac {my-p}{2z}},\end{alignedat}}$

d’où l’on tire

$z={\frac {c+d-a-b}{2}},\quad y={\frac {ab+cd}{2}}.$