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Si l’on remet maintenant dans cette équation les valeurs de $\mathrm {A,B,C}$ et de $a,b,c,$ on aura une équation en $x$ qui montera au douzième degré, puisque $\mathrm {A}$ contient toutes les puissances de $x$ jusqu’à la quatrième inclusivement, que $\mathrm {B}$ contient simplement $x^{2},$ et que les autres quantités ne renferment point $x.$

Ainsi la résolution de cette équation du douzième degré sera comme ci-dessus

$x={\frac {1}{2}}\left(z-{\frac {m}{2}}\pm {\sqrt {z^{2}-mz+{\frac {m^{2}}{4}}-4y+{\frac {2my-p}{z}}}}\right),$

en supposant

$z=\pm {\sqrt {2y+{\frac {m^{2}}{4}}-nk}}\,;$

et il n’y aura point ici de racines superflues, puisque les trois valeurs de $y$, combinées avec les signes ambigus des deux radicaux, donneront précisément les douze racines de l’équation dont il s’agit.

Faisons à présent $k=1$ pour avoir le cas du n^o 27 ; donc $h=0,$ et par conséquent

$\mathrm {A=X} =x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q,\quad \mathrm {B} =0,\quad \mathrm {C} =0\,;$

ainsi l’équation dont il s’agit se réduira à $\mathrm {A} ^{3}=0,$ c’est-à-dire à celle-ci

$\left(x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q\right)^{3}=0,$

qui n’est autre chose, comme on voit, que l’équation proposée élevée au cube, de sorte qu’elle doit avoir les mêmes racines que cette dernière, mais chacune triple.

On voit par là bien clairement la raison pourquoi l’expression trouvée pour la racine d’une équation du quatrième degré renferme réellement douze racines, qui se réduisent cependant à quatre, puisque chacune d’elles en a deux autres qui lui sont égales. De plus la démonstration précédente fait voir que les racines égales ne viennent que de l’élimination de $y$, et nullement de l’ambiguïté des radicaux, puisque c’est l’élimination de $y$ qui fait monter dans l’équation résultante la quantité $\mathrm {X}$