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cette manière l’équation

$\left(x^{2}+{\frac {mx}{2}}+y\right)^{2}=$

$k\left(2y+{\frac {m^{2}}{4}}-n\right)x^{2}+(my-p)x+{\frac {(my-p)^{2}}{4k\left(2y+{\dfrac {m^{2}}{4}}-n\right)}}\,;$

ou bien, à cause de

${\frac {(my-p)^{2}}{4}}=\left(2y+{\frac {m^{2}}{4}}-n\right)\left(y^{2}-q\right),$

en vertu de l’équation en $y,$

$\left(x^{2}+{\frac {mx}{2}}+y\right)^{2}=k\left(2y+{\frac {m^{2}}{4}}-n\right)x^{2}+(my-p)x+{\frac {y^{2}-q}{k}},$

c’est-à-dire

$x^{4}+mx^{3}+\left[kn+(1-k)\left(2y+{\frac {m^{2}}{4}}\right)\right]x^{2}+px+{\frac {q+(k-1)y^{2}}{k}}=0.$

Soit, pour abréger,

$x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q=\mathrm {X} ,$

et, faisant $k-1=h,$ l’équation précédente deviendra celle-ci

$\mathrm {X} +h\left[\left(n-{\frac {m^{2}}{4}}-2y\right)x^{2}+{\frac {y^{2}-q}{k}}\right]=0,$

d’où il ne s’agira plus que d’éliminer $y$ par le moyen de l’équation

$y^{3}-{\frac {n}{2}}y^{2}+{\frac {mp-4q}{4}}y+{\frac {\left(4n-m^{2}\right)q-p^{2}}{8}}=0.$

Nommons $y',y'',y'''$ les trois racines de cette dernière équation, et l’équation en $x$ résultant de l’élimination de l’inconnue $y$ pourra être représentée (13) par le produit des trois quantités

${\begin{aligned}&\mathrm {X} +h\left[\left(n-{\frac {m^{2}}{4}}-2y'\ \ \right)x^{2}+{\frac {y'^{2}\ \ -q}{k}}\right],\\&\mathrm {X} +h\left[\left(n-{\frac {m^{2}}{4}}-2y''\ \right)x^{2}+{\frac {y''^{2}\ -q}{k}}\right],\\&\mathrm {X} +h\left[\left(n-{\frac {m^{2}}{4}}-2y'''\right)x^{2}+{\frac {y'''^{2}-q}{k}}\right],\end{aligned}}$