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Or, puisque $mx^{m-1}={\frac {dx^{m}}{dx}},$ il est visible que la formule précédente peut se mettre sous cette forme

$p^{m}=x^{m}+{\frac {d(x^{m})}{dx}}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\cfrac {d(x^{m})}{dx}}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}{\cfrac {d(x^{m})}{dx}}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots .$

D’où il est facile de conclure qu’une fonction quelconque de $p,$ comme $\psi (p),$ sera exprimée de la manière suivante

$\psi (p)=\psi (x)+{\frac {d\psi (x)}{dx}}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\cfrac {d\psi (x)}{dx}}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}{\cfrac {d\psi (x)}{dx}}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots ,$

pourvu qu’on change, comme nous l’avons dit, $x$ en $\alpha$ après avoir exécuté les différentiations indiquées, ce qui fournit le théorème suivant, qui est très-remarquable par sa simplicité et par sa généralité.

16. Théorème. — Soit l’équation

(H)

$\alpha -x+\varphi (x)=0,$

$\varphi (x)$ étant une fonction quelconque de $x.$ Que $p$ soit une des racines de cette équation, c’est-à-dire une des valeurs de $x,$ et qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque de $p$ comme $\psi (p).$ Qu’on dénote, pour plus de simplicité, la quantité ${\frac {d\psi (x)}{dx}}$ par $\psi '(x),$ et je dis qu’on aura, en général,

(I)

$\left\{{\begin{aligned}\psi (p)=&\psi (x)+\varphi (x)\psi '(x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d[\varphi (x)]^{2}\psi '(x)}{dx}}\\&+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}[\varphi (x)]^{3}\psi '(x)}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}[\varphi (x)]^{4}\psi '(x)}{dx^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

où il faudra changer $x$ en $\alpha$ après les différentiations.

17. Si l’on fait $x=\alpha y,$ en sorte que l’équation (H) devienne

$1-y+{\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}=0,$