Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/259

et, remettant la valeur de $z,$

$x={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {m}{2}}+{\sqrt {2y+{\frac {m^{2}}{4}}-n}}+{\sqrt {-2y+{\frac {m^{2}}{2}}-n-{\frac {{\dfrac {1}{4}}m^{3}-mn+2p}{\sqrt {2y+{\dfrac {m^{2}}{4}}-n}}}}}\right),$

expression qui donnera pareillement les quatre racines de la proposée, en prenant successivement chacun des deux radicaux carrés qui y entrent en plus et en moins.

28. Puisque la réduite en $y$ est du troisième degré, elle aura nécessairement trois racines, dont chacune pourra être également substituée dans l’expression de $x,$ de sorte qu’à cause de l’ambiguïté des deux signes radicaux que cette expression contient, il en résultera douze valeurs de $x\,;$ d’où il est aisé de conclure que la résolution précédente est essentiellement celle d’une équation du douzième degré.

Pour trouver cette équation, il faudra éliminer $y$ de l’expression de $x$ et en faire disparaître ensuite tous les radicaux, ou bien on pourra remonter d’abord à l’équation rationnelle

$\left(x^{2}+{\frac {mx}{2}}+y\right)^{2}=z^{2}\left(x+{\frac {my-p}{2z^{2}}}\right)^{2},$

et il n’y aura plus qu’à en éliminer $x$ après y avoir substitué pour $z^{2}$ sa valeur

$2y+{\frac {m^{2}}{4}}-n.$

Supposons pour plus de généralité que la valeur de $z^{2},$ au lieu d’être simplement $2y+{\frac {m^{2}}{4}}-n,$ soit

$k\left(2y+{\frac {m^{2}}{4}}-n\right)\,;$

il est évident que le coefficient $k$ ne peut aucunement changer le degré auquel doit monter l’équation en $x$ après l’élimination de $y\,;$ on aura de