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Supposant donc la résolution de cette équation en sorte qu’on connaisse une valeur de $y$, le second membre de la proposée deviendra

$(2y-n)\left[x-{\frac {p}{2(2y-n)}}\right]^{2}\,;$

donc, tirant la racine carrée des deux membres, on aura

$x^{2}+y=\left[x-{\frac {p}{2(2y-n)}}\right]{\sqrt {2y-n}},$

équation où l’inconnue $x$ ne monte qu’au second degré, et qui n’a par conséquent plus de difficulté. Faisons, pour plus de simplicité,

$z={\sqrt {2y-n}},$

on aura

$x^{2}-zx+y+{\frac {p}{2z}}=0,$

d’où l’on tire sur-le-champ

$x={\frac {z+{\sqrt {z^{2}-{\dfrac {2p}{z}}-4y}}}{2}},$

ou bien, en remettant la valeur de $z,$

$x={\frac {{\sqrt {2y-n}}+{\sqrt {-2y-n-{\dfrac {2p}{\sqrt {2y-n}}}}}}{2}},$

et cette expression donnera à la fois les quatre racines de la proposée en prenant successivement les deux radicaux carrés en plus et en moins.

27. Nous remarquerons d’abord que cette méthode ne demande pas absolument l’évanouissementdu second terme dans l’équation proposée, et qu’elle peut tout aussi bien s’appliquer aux équations complètes telles que

$x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q=0,$

en supposant que le premier membre ne soit pas simplement le carré