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sorte que leur plus grande mesure soit $l,$ on n’aura de cette manière que les seules racines $\alpha ^{l},\alpha ^{2l},\alpha ^{3l},\ldots ,\alpha ^{n},$ donc chacune se trouvera répétée autant de fois qu’il y a d’unités dans ${\frac {n}{l}}\,;$ et il est facile de voir par les formules ci-dessus que ces dernières racines seront aussi celles de l’équation $x^{f}-1=0,$ en supposant $lf=n.$

Or, comme les racines de l’équation $x^{n}-1=0$ sont représentées par

$\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{n},$

et que $\alpha ^{n}=1,$ il est clair qu’on pourra les représenter aussi, si l’on veut, par

${\frac {1}{\alpha }},\quad {\frac {1}{\alpha ^{2}}},\quad {\frac {1}{\alpha ^{3}}},\ldots ,\quad {\frac {1}{\alpha ^{n}}},$

puisqu’on aura ${\frac {1}{\alpha }}=\alpha ^{n-1},\ {\frac {1}{\alpha ^{2}}}=\alpha ^{n-2},\ldots .$

De plus, à cause que l’équation $x^{n}-1=0$ manque du second terme, il est clair qu’on aura toujours, en général,

$\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\ldots +\alpha ^{n}=0,$

et de même

${\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\alpha ^{3}}}+\ldots +{\frac {1}{\alpha ^{n}}}=0.$

Et lorsque $n$ est un nombre composé comme $lf,$ on aura en particulier

${\begin{aligned}\alpha ^{l}\ \ +\ \alpha ^{2l}\ +\ \alpha ^{3l}\ +\ldots +\ \alpha ^{n}\,=0,\\{\frac {1}{\alpha ^{f}}}+{\frac {1}{\alpha ^{2f}}}+{\frac {1}{\alpha ^{3f}}}+\ldots +{\frac {1}{\alpha ^{n}}}=0,\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}\alpha ^{f}\,\ +\,\alpha ^{2f}\ +\,\alpha ^{3f}\ +\ldots +\,\alpha ^{n}\ =0,\\{\frac {1}{\alpha ^{f}}}+{\frac {1}{\alpha ^{2f}}}+{\frac {1}{\alpha ^{3f}}}+\ldots +{\frac {1}{\alpha ^{n}}}=0\,;\end{aligned}}$

c’est-à-dire que les sommes des puissances tant positives que négatives de dont les exposants sont divisibles par $l$ ou par $f$ seront égales à zéro par conséquent aussi la somme des puissances dont les exposants ne seront point divisibles par $l$ sera nulle, comme aussi la somme de celles dont les exposants ne seront point divisibles par $f.$ Ces différentes remarques pourront nous être utiles dans la suite.