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prend la racine $\alpha ^{2}$ au lieu de la racine $\alpha ,$ on aura celles-ci $\alpha ^{2},\alpha ^{4},\alpha ^{6},\alpha ^{8},$$\alpha ^{10},$ lesquelles, à cause de $\alpha ^{5}=1,$ deviennent $\alpha ^{2},\alpha ^{4},\alpha ,\alpha ^{3},\alpha ^{5}\,;$ que si l’on prend à la place de $\alpha$ la racine $\alpha ^{3},$ on trouvera de même, en rabattant des exposants de $\alpha$ qui surpassent $5$ le nombre $5$ autant de fois que l’on peut, on trouvera, dis-je, les racines $\alpha ^{3},\alpha ,\alpha ^{4},\alpha ^{2},\alpha ^{5}\,;$ enfin, prenant pour $\alpha$ la racine $\alpha ^{4},$ on trouvera celles-ci $\alpha ^{4},\alpha ^{3},\alpha ^{2},\alpha ,\alpha ^{5}\,;$ de sorte qu’on aura toujours les mêmes racines, mais dans un ordre différent.

En général, soit $\alpha ^{m}$ une quelconque des $n$ racines $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{n},$ $m$ étant plus petit que $n,$ et $n$ étant un nombre premier ; prenant cette racine à la place de $\alpha ,$ on aura celles-ci $\alpha ^{m},\alpha ^{2m},\alpha ^{3m},\ldots ,\alpha ^{nm}\,;$ or, si l’on retranche des exposants $2m,3m,4m,\ldots$ lorsqu’ils surpassent $n,$ le plus grand multiple de $n$ qu’ils contiennent, et qu’on dénote les restes par $p,q,r,\ldots ,$ on aura les racines $\alpha ^{m},\alpha ^{p},\alpha ^{q},\alpha ^{r},\ldots ,\alpha ^{n}\,;$ et je dis que les nombres $m,p,q,r,\ldots ,n,$ dont aucun n’est plus grand que $n,$ seront nécessairement tous différents entre eux ; car si deux quelconques comme $p$ et $r$ étaient égaux, comme ces nombres ne sont que les restes des nombres $2m,4m,$ après en avoir retranché les plus grands multiples de $n,$ il est clair qu’il faudrait que la différence de ces derniers $2m,4m,$ fût divisible par $n\,;$ ce qui ne se peut tant que $n$ est premier et $m<n.$ Donc, puisque les nombres $m,p,q,r,\ldots ,$ dont le nombre est $n-1,$ sont tous différents entre eux et tous moindres que $n,$ il est clair qu’ils ne peuvent être autre chose que les nombres $1,2,3,\ldots ,n-1\,;$ par conséquent les racines $\alpha ^{m},\alpha ^{p},\alpha ^{q},\alpha ^{r},\ldots ,\alpha ^{n}$ seront les mêmes que les racines $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{n}.$ Il est facile de voir que la démonstration précédente n’en subsistera pas moins lorsque $n$ ne sera pas premier, pourvu que l’on prenne $m$ premier à $n\,;$ mais si $m$ n’est pas premier à $n,$ et que leur plus grande mesure soit $l,$ on verra aisément que tous les nombres $m,p,q,r,$ seront mesurés par $l\,;$ de sorte que ces nombres ne pourront être que des multiples de $l$ moindres que $n.$

De là il est aisé de conclure, en général, que l’on peut représenter toutes les racines, $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{n}$ de l’équation $x^{n}-1=0$ par les puissances 1^re, 2^e, 3^e, …, $n$^ième d’une quelconque de ces racines comme $\alpha ^{m},$ pourvu que $m$ soit premier $n\,;$ mais que si $m$ n’est pas premier à $n,$ en