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dra à $m={\frac {n}{2}},$ lorsque $n$ sera pair, laquelle sera égale à $-1\,;$ car pour que la partie imaginaire de l’expression de $x$ disparaisse, il faut que l’on aits

$\sin \left({\frac {m}{n}}\times 360^{\mathrm {d} }\right)=0,$

ce qui n’arrive que lorsque l’arc est égal à $360^{\mathrm {d} }$ ou à $180^{\mathrm {d} }\,;$ de sorte qu’on aura ou ${\frac {m}{n}}=1$ ou $={\frac {1}{2}},$ et par conséquent ou $m=n$ ou $m={\frac {n}{2}}\,;$ dans le premier cas la partie réelle $\cos \left({\frac {m}{n}}\times 360^{\mathrm {d} }\right)$ deviendra $\cos 360^{\mathrm {d} }=1\,;$ et dans le second elle deviendra $\cos 180^{\mathrm {d} }=-1.$

Maintenant, si l’on fait

$\alpha =\cos {\frac {360^{\mathrm {d} }}{n}}+\sin {\frac {360^{\mathrm {d} }}{n}}{\sqrt {-1}},$

on aura par les formules ci-dessus

$\alpha ^{m}=\cos \left({\frac {m}{n}}\times 360^{\mathrm {d} }\right)+\sin \left({\frac {m}{n}}\times 360^{\mathrm {d} }\right){\sqrt {-1}}\,;$

de sorte que les différentes racines de $x^{n}-1=0$ seront toutes exprimées par les puissances de la quantité $\alpha \,;$ et qu’ainsi ces racines seront $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},$$\ldots ,\alpha ^{n},$ dont la dernière $\alpha ^{n}$ sera toujours égale à $1,$ ce qui est évident par l’équation même $x^{n}-1=0,$ laquelle doit donner $\alpha ^{n}-1=0,$ et dont celle qui sera représentée par $\alpha ^{\frac {n}{2}},$ lorsque $n$ est pair, sera égale à $-1,$ comme on l’a vu plus haut.

Il est bon d’observer ici que si $n$ est un nombre premier, on pourra toujours représenter toutes les racines de $x^{n}-1=0$ par les puissances successives d’une quelconque de ces mêmes racines, la dernière seule exceptée ; car soit, par exemple, $n=3,$ les racines seront $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}\,;$ si l’on prend à la place de $\alpha$ la racine suivante $\alpha ^{2},$ on aura les trois racines $\alpha ^{2},\alpha ^{4},\alpha ^{6}\,;$ mais, à cause de $\alpha ^{3}=1,$ il est clair que $\alpha ^{4}=\alpha$ et que $\alpha ^{6}=\alpha ^{3}\,;$ de sorte que ces racines seront $\alpha ^{2},\alpha ,\alpha ^{3},$ les mêmes qu’auparavant de même, si $n=5,$ les racines seront $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4},\alpha ^{5}\,;$ et si l’on