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or, en élevant la première à la puissance $n,$ et négligeant le carré et les puissances plus hautes de $\varphi ,$ on aurait

$x^{n}=1\pm n\varphi {\sqrt {-1}},$

valeur qui devant être la même que celle qui est donnée par la seconde équation, on en conclura l’identité des signes ambigus $+$ ou $-$ dans les deux équations. Faisant donc abstraction de l’ambiguïté des signes, il est clair que

$x=\cos \varphi +\sin \varphi {\sqrt {-1}}$

sera la résolution de l’équation

$x^{n}-\cos n\varphi -\sin n\varphi {\sqrt {-1}}=0.$

Donc, si l’on suppose $\sin n\varphi =0$ et $\cos n\varphi =1,$ ce qui donne $n\varphi =360^{\mathrm {d} }$ ou $=720^{\mathrm {d} },$ ou, en général, égal à $m\times 360^{\mathrm {d} },$ $m$ étant un nombre entier quelconque, on aura l’équation

$x^{n}-1=0,$

dont la résolution sera, à cause de $\varphi ={\frac {m}{n}}\times 360^{\mathrm {d} }.$

Cette expression est générale pour chacune des racines de l’équation proposée $x^{n}+1=0,$ et on les aura toutes en faisant successivement $m=1,2,3,\ldots$ jusqu’à $n$ inclusivement ; il serait inutile de faire $m>n,$ puisqu’il en résulterait de nouveau les mêmes valeurs que lorsque $m<n.$

24. Nous remarquerons d’abord sur cette solution que toutes les racines de l’équation $x^{n}-1=0$ doivent être différentes entre elles, puisque dans la circonférence il n’y a pas deux arcs différents qui aient un même sinus et un même cosinus à la fois. De plus il est facile de voir que toutes les racines seront imaginaires, à l’exception de la dernière qui répond à $m=n$ et qui sera toujours égale à $1,$ et de celle qui répon-