Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/25

${\begin{aligned}&+{\frac {m}{2.3}}\left[{\frac {(m+5)(m+4)a^{m+3}c^{3}}{b^{m+6}}}-{\frac {(m+6)(m+5)a^{m+4}.3cd}{b^{m+7}}}+\ldots \right]\\&+{\frac {m}{2.3.4}}\left[{\frac {(m+7)(m+6)(m+5)a^{m+4}c^{4}}{b^{m+8}}}-\ldots \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si $m$ est égal à $1,$ on aura

${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}-{\frac {a^{3}c}{b^{4}}}+{\frac {a^{4}c}{b^{5}}}-{\frac {a^{5}c}{b^{6}}}+\ldots \\&+{\frac {2a^{3}c^{2}}{b^{5}}}-{\frac {5a^{4}cd}{b^{6}}}+{\frac {3a^{5}\left(d^{2}+2ce\right)}{b^{7}}}-\ldots \\&+{\frac {5a^{4}c^{3}}{b^{7}}}-{\frac {21a^{5}cd}{b^{8}}}+\ldots \\&+{\frac {14a^{5}c^{4}}{b^{9}}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

c’est la formule connue de Newton pour le retour des suites.

15. Considérons maintenant l’équation générale

$\alpha -x+\varphi (x)=0,$

$\varphi (x)$ étant une fonction quelconque de $x\,;$ comparant cette équation avec l’équation

$a-bx+bx\xi =0$

du n^o 11, ou bien

${\frac {a}{b}}-x+x\xi =0,$

on aura

$\alpha ={\frac {a}{b}}\quad {\text{et}}\quad \xi ={\frac {\varphi (x)}{x}}\,;$

donc, si l’on dénote par $p$ une des racines de l’équation proposée, on aura, par la formule (F) du numéro cité,

$p^{m}=x^{m}+m\left[x^{m-1}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{m-1}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}x^{m-1}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots \right],$

en faisant, après les différentiations, $x=\alpha .$