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et remarquons que, par les théorèmes connus de la multisection angulaire, la quantité

$y^{r}-ry^{r-2}+{\frac {r(r-3)}{2}}y^{r-1}-\ldots$

représente, dans un cercle dont le rayon est égal à $1,$ la corde du complément à $180^{\mathrm {d} }$ d’un arc $r$^uple de celui dont la corde du complément serait $y\,;$ de sorte qu’en nommant ce dernier arc $2\varphi$ on aura

$y=2\cos \varphi \quad {\text{et}}\quad y^{r}-ry^{r-2}+{\frac {r(r-3)}{2}}y^{r-1}-\ldots =2\cos r\varphi ,$

les cordes des compléments étant, comme on sait, égales aux doubles des cosinus de la moitié des angles.

Ainsi faisant $x+{\frac {1}{x}}=2\cos \varphi ,$ on aura, en général, $x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}=2\cos n\varphi \,;$ par conséquent les deux équations

${\begin{aligned}&x^{2}-2x\cos \varphi +1=0,\\&x^{2n}-2x^{n}\cos n\varphi +1=0\end{aligned}}$

subsisteront à la fois, quel que soit le nombre $n,$ en sorte que la première sera nécessairement un diviseur de la seconde ; c’est le fondement du fameux théorème de M. Cotes.

Maintenant, si l’on résout ces deux équations à la manière des équations quadratiques, on aura ces deux-ci

${\begin{aligned}x\ \ =&\cos \,\varphi \pm \sin \varphi {\sqrt {-1}},\\x^{n}=&\cos n\varphi \pm \sin n\varphi {\sqrt {-1}},\end{aligned}}$

où il est facile de prouver que les signes ambigus doivent être les mêmes dans l’une et l’autre ; car supposant $\varphi$ très-petit, on aura, aux infiniment petits du second ordre près,

$\cos \varphi =1,\quad \sin \varphi =\varphi ,\quad {\text{ et de même}}\quad \cos n\varphi =1,\quad \sin n\varphi =n\varphi ,$

de sorte que les deux équations deviendront

${\begin{aligned}x\ \ =&1\pm \varphi {\sqrt {-1}},\\x^{n}=&1\pm n\varphi {\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}$