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et la divisant par $x^{p},$ elle pourra se mettre sous la forme

$x^{p}+{\frac {1}{x^{p}}}+a\left(x^{p-1}+{\frac {1}{x^{p-1}}}\right)+b\left(x^{p-2}+{\frac {1}{x^{p-2}}}\right)+\ldots =0,$

de sorte qu’on y pourra faire usage des substitutions

$x+{\frac {1}{x}}=y,\quad x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=y^{2}-2,\ldots ,$

au moyen desquelles la transformée en $y$ ne sera que du degré $p$^ième.

Si l’on avait l’équation du degré impair $2p+1,$

$x^{2p+1}+ax^{2p}+bx^{2p-1}+\ldots +hx^{p+1}+hx^{p}+\ldots +bx^{2}+ax+1=0,$

on la disposerait d’abord ainsi

$x^{i2p+1}+1+ax\left(x^{2p-1}+1\right)+bx^{2}\left(x^{2p-3}+1\right)+\ldots +hx^{p}(x+1)=0,$

où l’on voit que chaque terme est divisible par $x+1,$ et, la division faite, on aura

$\left.{\begin{aligned}x^{2p}&+x^{2p-1}+x^{2p-2}+x^{2p-3}+\ldots +1\\&+ax\ \left(x^{2p-2}+x^{2p-3}+\ldots +1\right)\\&+bx^{2}\left(x^{2p-4}+x^{2p-5}+\ldots +1\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+hx^{p}\end{aligned}}\right\}$

équation qui, étant ordonnée par rapport aux puissances de $x,$ se trouvera dans le cas de l’équation ci-dessus et pourra par conséquent s’abaisser par la même méthode au degré $p.$

M. de Moivre est, je crois, le premier qui ait remarqué cette propriété des équations dont nous parlons, et il a donné dans ses Miscellanea analytica la formule générale de la transformée dont le degré n’est que la moitié de celui de la proposée. Nous donnerons plus bas la raison à priori pourquoi ces sortes d’équations sont susceptibles d’une pareille réduction.

23. Reprenons la formule trouvée dans le n^o 21, savoir

$x^{r}+{\frac {1}{x^{r}}}=y^{r}-ry^{r-2}+{\frac {r(r-3)}{2}}y^{r-4}-\ldots ,$