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puisque l’unité est toujours une des valeurs de $x,$ on pourra diviser par $x-1,$ et le quotient sera

$x^{2p}+x^{2p-1}+x^{2p-2}+\ldots +x^{2}+x+1=0.$

Or cette équation qui est du degré $2p$ peut toujours s’abaisser au degré $p,$ car, en la divisant par $x^{p}$ et mettant ensemble les termes qui sont également éloignés de celui du milieu, on aura

$x^{p}+{\frac {1}{x^{p}}}+x^{p-1}+{\frac {1}{x^{p-1}}}+\ldots +x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}+x+{\frac {1}{x}}+1=0.$

Qu’on fasse $x+{\frac {1}{x}}=y$ et élevant $y$ au carré, au cube, etc., on trouvera

$y^{2}=x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}+2,\quad y^{3}=x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}+3\left(x+{\frac {1}{x}}\right),\ldots \,;$

donc

$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=y^{2}-2,\quad x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}=y^{3}-3y,$

et, en général,

$x^{r}+{\frac {1}{x^{r}}}=y^{r}-ry^{r-2}+{\frac {r(r-3)}{2}}y^{r-4}-{\frac {r(r-4)(r-5)}{2.3}}y^{r-6}+\ldots ,$

en ne continuant la série que tant que l’on aura des puissances positives de $y.$

Faisant donc ces substitutions dans l’équation ci-dessus, on aura une transformée en $y$ où toutes les puissances de $y$ seront positives et où la plus haute sera $y^{p},$ de sorte que l’équation ne sera plus que du degré $p$^ième.

Donc, si l’on peut résoudre cette dernière équation, on aura $p$ valeurs de $y,$ dont chacune donnera ensuite deux valeurs de $x$ par la résolution de l’équation quadratique

$x^{2}-xy+1=0\,;$

moyennant quoi on aura $2p$ valeurs de $x,$ auxquelles joignant la première racine $x=1,$ on aura toutes les racines de l’équation

$x^{2p+1}-1=0.$

Ainsi l’on pourra avoir par l’extraction de la seule racine carrée les