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Ainsi l’on aura et

$\alpha ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \beta ={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}},$

et il est facile de se convaincre que est en effet égal à $\alpha ^{2},$ comme nous l’avons déjà trouvé à priori ; car faisant le carré de $\alpha$ on a

${\frac {1-2{\sqrt {-3}}-3}{4}}=={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}=\beta .$

En général, soit l’équation à deux termes

$x^{n}-1=0\,;$

on remarquera d’abord que si $n$ est un nombre composé, en sorte que $n=pq,$ la résolution de cette équation se réduira toujours à celle de deux équations semblables, l’une du degré $p$ et l’autre du degré $q.$ Car, faisant $x^{q}=y,$ on aura $x^{n}=y^{p},$ et par conséquent

$y^{p}-1=0.$

Supposons donc qu’on ait résolu cette équation du degré $p$ et que $\alpha$ soit une des racines, on aura ensuite

$x^{q}-\alpha =0,$

ou bien, faisant $x=t{\sqrt[{q}]{\alpha }},$

$t^{q}-1=0\,;$

et cette nouvelle équation étant résolue, on aura la valeur de $t$ et par conséquent celle de $x.$

De là on voit que la difficulté de résoudre l’équation $x^{n}-1=0,$ lorsque $n$ est un nombre composé, se réduit à résoudre autant de pareilles équations que $n$ a de facteurs simples, et dont les degrés soient ces mêmes facteurs de $n.$

Ainsi toute la difficulté consiste à résoudre l’équation $x^{n}-1=0$ lorsque $n$ est un nombre premier.

Considérons, en général, le cas où $n$ est impair, en sorte que l’équation à résoudre soit

$x^{2p+1}-1=0\,;$