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d’où

$c={\frac {3n-m^{2}}{9h}}.$

20. Telles sont les principales méthodes qu’on a trouvées jusqu’à présent pour résoudre les équations du troisième degré. Par l’analyse que nous venons d’en faire il est visible que ces méthodes reviennent toutes au même pour le fond, puisqu’elles consistent à trouver des réduites dont les racines soient représentéesen général par $x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x''',$ ou par $\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)^{3},$ ou bien, ce qui est la même chose, par des quantités proportionnelles à celles-ci. Dans le cas où la racine de la réduite est $x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x''',$ cette réduite est du sixième degré, résoluble à la manière du second parce qu’elle ne renferme que la troisième et la sixième puissance de l’inconnue. Nous en avons donné la raison dans le n^o 6. Dans l’autre cas, où la racine de la réduite est $\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)^{3},$ cette réduite ne peut être que du second degré, ce qui suit nécessairement du cas précédent, et que nous avons aussi démontré d’une manière directe (9).

21. Avant de terminer cette Section nous dirons un mot de la résolution de l’équation

$x^{3}-1=0,$

dont nous avons supposé les racines $1,\alpha$ et $\beta \,;$ et ; et nous ferons en même temps quelques remarques sur la résolution générale de l’équation

$x^{n}-1=0,$

lesquelles pourront nous être utiles dans la suite.

Il est d’abord clair que l’unité est une des racines de l’équation $x^{3}-1=0,$ de sorte que pour trouver les deux autres il n’y aura qu’a diviser d’abord cette équation par $x-1,$ ce qui donnera celle-ci

$x^{2}-x+1=0,$

d’où l’on tire

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.$