Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/243

Si l’on fait $h=1,$ on aura

${\begin{aligned}b=&{\frac {x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''}{3}},\\c=&{\frac {x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''}{3}}.\end{aligned}}$

Or ces expressions sont les mêmes que celles que nous avons trouvées plus haut pour les racines de la réduite du troisième degré d’après la règle de Cardan ; de sorte qu’on peut conclure d’abord que les quantités $b$ et $c$ seront données par une même équation du sixième degré résoluble à la manière de celles du second, et qui sera (5)

$y^{6}+\left(p-{\frac {mn}{3}}+{\frac {2m^{3}}{27}}\right)y^{3}-{\frac {1}{27}}\left(n-{\frac {m^{2}}{3}}\right)^{3}=0\,;$

c’est aussi ce que M. Bezout a trouvé d’après son calcul.

Mais si, au lieu de supposer avec M. Bezout $h=-1,$ on fait avec M. Euler $b=1,$ on aura

$x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''=-3{\sqrt[{3}]{h}}\quad {\text{et}}\quad x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''=3c{\sqrt[{3}]{h}}\,;$

la première étant élevée au cube donnera

$-h={\frac {1}{27}}\left(x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''\right)^{3},$

ou bien, en adoptant les dénominationsdu n^o 8,

$-h={\frac {s^{2}}{27}}={\frac {z''}{27}},$

d’où l’on voit d’abord que la quantité $-h$ sera donnée par une simple équation du second degré, dont les racines seront ${\frac {z'}{27}}$ et ${\frac {z''}{27}}.$ Ayant trouvé $h,$ il n’y aura qu’à multiplier la première équation par la seconde pour avoir

$-9ch=\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)\left(x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''\right),$

ce qui se réduit (16) à

$-9ch=m^{2}-3n,$