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de sorte que les deux valeurs de ${\frac {f}{k}}$ seront

$-{\frac {m}{3}}-{\frac {z'}{3\left(m^{2}-3n\right)}}\quad {\text{et}}\quad -{\frac {m}{3}}-{\frac {z''}{3\left(m^{2}-3n\right)}},$

$z'$ et $z''$ étant les racines de l’équation en $z$ donnée ci-dessus.

18. Reprenons l’expression de $x$

${\frac {f+gy}{k+y}},$

et comme $y$ est un radical donné par l’équation $y^{3}+h=0,$ faisons évanouir ce radical du dénominateur $k+y$ en multipliant le haut et le bas de la fraction par $k^{2}-ky+y^{2},$ ce qui la changera en celle-ci

${\frac {k^{2}f+\left(k^{2}g-kf\right)y+(f-kg)y^{2}+gy^{3}}{k^{3}+y^{3}}},$

c’est-à-dire, en substituant $-h$ à la place de $y^{3},$

${\frac {k^{2}f-hg+\left(k^{2}g-kf\right)y+(f-kg)y^{2}}{k^{3}-h}},$

quantité qu’on peut réduire à cette forme plus simple

$a+by+cy^{2},$

de sorte que l’on aura, en général,

$x=a+by+cy^{2},$

$a,b,c$ étant des coefficients indéterminés et $y$ la racine d’une équation du troisième degré à deux termes telle que $y^{3}+h=0.$

Cette expression de $x$ est la même que MM. Euler et Bezout ont adoptée pour exprimer les racines des équations du troisième degré, et que ces Auteurs croient pouvoir étendre, en général, aux équations de tous les degrés. Voyez les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, tome IX, et les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, pour l’année 1765.

Pour résoudre donc les équations du troisième degré d’après cette mé-