et, cette valeur étant substituée dans la première, on aura en divisant par
![{\displaystyle m+{\frac {3f}{k}}+{\frac {\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)^{2}}{x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d895c33eb1c8568563135dc583e2e1fd59599818)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {f}{k}}=-{\frac {m}{3}}-{\frac {\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)^{2}}{3\left(x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a787e5bfbe27084b5bfbd2bb1bf4c40665b5e959)
Il est d’abord facile de voir par cette expression que la quantité
ne peut avoir que deux valeurs différentes, et que par conséquent elle ne pourra être donnée que par une équation du second degré ; car la fraction
![{\displaystyle {\frac {\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)^{2}}{x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13d66132a5d471ef394502bcc4a8f173690bd9b)
ne peut que demeurer la même, ou se changer dans la fraction
![{\displaystyle {\frac {\left(x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''\right)^{2}}{x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec9b9e4e060d4e37fa8c36d30daa234bf860f2d)
en faisant telle permutation que l’on voudra entre les trois racines
C’est ce qu’on comprendra encore plus aisément en multipliant le haut et le bas de la première fraction par
![{\displaystyle x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4e12b2ce9d86c88ce7f55be48a3a1951554696)
et le haut et le bas de la seconde par
![{\displaystyle x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb1a3f41048ed3efdd77734d628ac4b6a8c84c0)
car alors elles deviendront (16)
![{\displaystyle {\frac {\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)^{3}}{m^{2}-3n}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\left(x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''\right)^{3}}{m^{2}-3n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0263a3bedf3b80b23f71b5411ec6273198c9bfb)
c’est-à-dire (7)
![{\displaystyle {\frac {r^{3}}{m^{2}-3n}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {s^{3}}{m^{2}-3n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c62f61a2fe96bae2a4026eef8a7294c2eb4979)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {z'}{m^{2}-3n}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {z''}{m^{2}-3n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b9c75e9fd4f69e3524968e2098d51d9d740281)