Paris, pour l’année 1762, et dans lequel l’Auteur a fait un usage utile et heureux de ces substitutions pour résoudre une classe très-étendue d’équations de tous les degrés. Nous nous contenterons de remarquer ici que si l’on voulait savoir d’avance ce que l’on peut se promettre des substitutions dont il s’agit pour la résolution des équations du troisième degré, il n’y aurait qu’à chercher à priori le degré et la forme de l’équation qui donnera l’un des coefficient
ou
etc. ; pour cela on considérera que, puisque
on aura ces trois valeurs de
savoir
lesquelles étant substituées dans l’expression de
![{\displaystyle x={\frac {f+gy}{k+y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c535fb4f92eba1a806f9a9f05fc21220ec9cb175)
donneront les trois valeurs de
savoir ![{\displaystyle x',x'',x'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01aaf06f7d45fcde4751dcfb5f56999851800d91)
Ainsi prenant l’équation
![{\displaystyle x(k+y)=f+gy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14d6fab511f7ea757fdb24af12dbde219e8d6a0)
ou bien
![{\displaystyle kx-f+(x-g)y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e1c2554247e87454646c4320105276eea845f3)
on en déduira ces trois-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&kx'\ \ -f-(x'\ \ -g){\sqrt[{3}]{h}}=0,\\&kx''\ -f-\alpha \ (x''\ -g){\sqrt[{3}]{h}}=0,\\&kx'''-f-\alpha ^{2}(x'''-g){\sqrt[{3}]{h}}=0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915662241fb88aff18f75a53e41cdf7446a3cd7f)
qui étant d’abord ajoutées ensemble donnent, à cause de
et ![{\displaystyle 1+\alpha +\alpha ^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c50d95f9b73041913c03b2505bbe5eb90d02be)
![{\displaystyle mk+3f+\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right){\sqrt[{3}]{h}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a5816ed7612d9e5695a6f3b40a2844df579c5d)
de plus, multipliant la seconde par
et la troisième par
et les ajoutant ensuite toutes trois ensemble, on aura
![{\displaystyle k\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)-\left(x'+\alpha ^{2}x''+\alpha x'''\right){\sqrt[{3}]{h}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a7a86c8d2553be25bc7289b0e8c361e3df78be)
Celle-ci donne
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{h}}={\frac {k\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right)}{x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e1e04b8bdd2a749745d86ed0f440bd908ac5f0)