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on aura pour produit la quantité

$x'^{3}+x''^{3}+x'''^{3}+\alpha \left(x'^{2}x'''+x''^{2}x'+x'''^{2}x''\right)+\alpha ^{2}\left(x'^{2}x''+x''^{2}x'''+x'''^{2}x'\right),$

laquelle (à cause que $x',x'',x'''$ sont les mêmes racines que nous avons nommées ailleurs $a,b,c$) se réduit (7) à

$\mathrm {L} -6x'x''x'''+\alpha \mathrm {M+\alpha ^{2}N} ,$

ou bien à

$\mathrm {L} +6p+\alpha \mathrm {M+\alpha ^{2}N} ,$

puisque $x'x''x'''=-p\,;$ de sorte que la fraction

${\frac {x'^{2}+\alpha x''^{2}+\alpha ^{2}x'''^{2}}{x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''}}$

deviendra, en multipliant le haut et le bas par $x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x'',$ celle-ci

${\frac {\mathrm {L} +6p+\alpha \mathrm {M+\alpha ^{2}N} }{m^{2}-3n}}\,;$

et de même l’autre fraction

${\frac {x'^{2}+\alpha x'''^{2}+\alpha ^{2}x''^{2}}{x'+\alpha x'''+\alpha ^{2}x''}}$

deviendra, en multipliant le haut et le bas par $x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x''',$

${\frac {\mathrm {L} +6p+\alpha \mathrm {N+\alpha ^{2}M} }{m^{2}-3n}}.$

Mais dans le numéro cité on avait

$r^{3}=\mathrm {L+3\alpha M+3\alpha ^{2}N} \quad {\text{et}}\quad s^{3}=\mathrm {L+3\alpha N+3\alpha ^{2}M} \,;$

donc

$\mathrm {\alpha M+\alpha ^{2}N} ={\frac {r^{3}-\mathrm {L} }{3}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {\alpha N+\alpha ^{2}M} ={\frac {s^{3}-\mathrm {L} }{3}}\,;$

par conséquent les deux fractions dont il s’agit seront

${\frac {x^{3}+2\mathrm {L} +18p}{3\left(m^{2}-3n\right)}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {s^{3}+2\mathrm {L} +18p}{3\left(m^{2}-3n\right)}},$