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à deux termes telle que

$y^{3}+\mathrm {C} =0,$

dont les racines sont

$y=-{\sqrt[{3}]{\mathrm {C} }},\quad y=-\alpha {\sqrt[{3}]{\mathrm {C} }},\quad y=-\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\mathrm {C} }}\,;$

et je remarque que ces trois racines devant répondre aux trois valeurs de $x$ qui sont les racines de la proposée

$x^{3}+m^{2}+nx+p=0,$

on aura donc, en désignant ces dernières racines par $x',x'',x''',$ les trois équations suivantes

(C)

$\left\{{\begin{aligned}x'^{2}\ \ =&bx'\,\ +a-{\sqrt[{3}]{\mathrm {C} }},\\x''^{2}\ =&bx''\ +a-\alpha {\sqrt[{3}]{\mathrm {C} }},\\x'''^{2}=&bx'''+a-\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\mathrm {C} }},\end{aligned}}\right.$

d’où l’on pourra tirer les valeurs de $a$ et $b,$ après avoir chassé ${\sqrt[{3}]{\mathrm {C} }}\,;$ pour cet effet, il n’y a qu’à ajouter ensemble les trois équations dont il s’agit, après avoir multiplié la seconde par $\alpha$ et la troisième par $\alpha ^{2}\,;$ car on aura, à cause de $\alpha ^{4}=\alpha$ et de $1+\alpha +\alpha ^{2}=0,$ comme on l’a déjà vu plus haut, on aura, dis-je,

$x'^{2}+\alpha x''^{2}+\alpha ^{2}x'''^{2}=b\left(x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''\right),$

d’où l’on tire

$b={\frac {x'^{2}+\alpha x''^{2}+\alpha ^{2}x'''^{2}}{x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''}}.$

Cette expression de $b$ doit nous faire juger immédiatement du degré de l’équation par laquelle la quantité $b$ doit être déterminée ; en effet, il est clair que cette équation doit avoir autant de racines qu’il peut y avoir de valeurs de $b\,;$ or les différentes valeurs de $b$ ne peuvent venir que des permutations qu’on peut faire entre les racines $x',x'',x''''\,;$ et ces permutations sont au nombre de six, comme nous l’avons déjà remarqué plus haut (voyez les n^os 6 et suivants, où les lettres $a,b,c$ désignent les mêmes quantités qui sont nommées ici $x',x'',x'''$) ainsi la quantité $b$