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Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/231

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13. Il est clair au reste que les racines de l’équation en y ne sont autre chose que les valeurs de qui résultent en substituant à la place de chacune des racines de l’autre équation que nous désignerons par donc, si l’on suppose que soient les valeurs de qui viendraient de ces substitutions, c’est-à-dire où l’on aurait mis à la place de on aura

d’où l’on voit que l’équation résultante de l’élimination de l’inconnue des deux équations et n’est autre chose que le produit de toutes les équations particulières

or ce produit peut toujours se trouver sans connaître les racines de l’équation comme il est facile de s’en convaincre en considérant que le produit en question demeurera toujours le même, quelque permutation qu’on y fasse entre les racines c’est-à-dire entre les quantités qui sont des fonctions semblables de ces racines ; de sorte qu’il doit être donné par une équation linéaire et sans extraction de racines. En effet, les multiplications des quantités étant faites, on trouvera toujours que les différentes fonctions de qui entreront dans le produit total seront exprimables par les seuls coefficients de l’équation dont sont les racines. On peut consulter là-dessus l’Introduction à l’Analyse des lignes courbes de M. Cramer, où l’on trouvera des règles pour calculer toutes les fonctions dont il s’agit, et avoir par conséquent la valeur du produit nous avons aussi traité ce sujet dans un Mémoire particulier, où nous avons donné des formules générales pour trouver immédiatement la valeur du même produit, sans passer par les différentes opérations que la méthode de M. Cramer exige[1] ; ainsi nous ne nous arrêterons pas davantage là-dessus. Nous nous contenterons seulement de re-

  1. ↑ Œuvres de Lagrange, t. III, p. 141.
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