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il n’y aura qu’à écrire $\rho -y$ à la place de $\rho \,;$ or l’équation

$y^{m}+ay^{m-1}+\ldots +py^{2}+qy+r=0$

est celle qui résulte de l’élimination de $x$ dans les deux équations $\mathrm {P} =y$ et $\mathrm {Q} =0$ (hypothèse) ; par conséquent, en y faisant $y=0,$ l’équation $r=0$ sera celle qui résultera de l’élimination de $x$ dans les équations $\mathrm {P} =0$ et $\mathrm {Q} =0$ donc, ayantl’équation $r=0,$ il n’yauraqu’\delta ysubstituer $\rho -y$ à la place de $\rho$ pour avoir immédiatementl’équation

$y^{m}+ay^{m-1}+\ldots +py^{2}+qy+r=0$

mais on sait que si $r$ est une fonction de $\rho$ et qu’on veuille y substituer $\rho -y$ à la place de $\rho ,$ on aura, en employantles différentiations, la transformée

$r-{\frac {dr}{d\rho }}y+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}r}{d\rho ^{2}}}y^{2}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}r}{d\rho ^{3}}}y^{3}+\ldots \,;$

donc on aura, par la comparaison des termes,

$q=-{\frac {dr}{d\rho }},\quad p={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}r}{d\rho ^{2}}},\ldots ,$

d’où je tire cette conclusion, que si

$r=0$

est la condition nécessaire pour que les équations $\mathrm {P} =0$ et $\mathrm {Q} =0$ aient une racine commune, on aura, pour les conditions de deux racines communes,

$r=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {dr}{d\rho }}=0\,;$

pour trois racines communes,

$r=0\quad {\frac {dr}{d\rho }}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}r}{d\rho ^{2}}}=0,$

et ainsi de suite, $\rho$ étant le dernier terme de l’une des équations proposées.