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en mettant, après les différentiations, ${\frac {a}{b}}$ à la place de $x\,;$ ainsi l’on aura (en changeant $p$ en $x$)

${\begin{aligned}x^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}+m&\left[{\frac {ca^{m+n-1}}{b^{m+n}}}+{\frac {(m+2n-1)c^{2}a^{m+2n-2}}{2b^{m+2n}}}\right.\\&+{\frac {(m+3n-1)(m+3n-2)c^{3}a^{m+3n-3}}{2.3.b^{m+3n}}}\\&+\left.{\frac {(m+4n-1)(m+4n-2)(m+4n-3)c^{4}a^{m+4n-4}}{2.3.4.b^{m+4n}}}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Si l’on fait $x={\frac {1}{y}},$ en sorte qu’on ait l’équation

$ay^{n}-by^{n-1}+c=0,$

on aura $y^{m}=x^{-m}\,;$ ainsi il n’y aura qu’à faire $m$ négatif dans la formule précédente pour avoir

${\begin{aligned}y^{m}={\frac {b^{m}}{a^{m}}}-m&\left[{\frac {cb^{m-n}}{a^{m-n+1}}}-{\frac {(m-2n+1)c^{2}b^{m-2n}}{2a^{m-2n+2}}}\right.\\&\left.+{\frac {(m-3n+1)(m-3n+2)c^{3}b^{m-3n}}{2.3.a^{m-3n+3}}}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Je dois remarquer, à l’égard de cette dernière formule, qu’elle a déjà été trouvée par M. Lambert, qui me l’a communiquée il y a quelque temps sans démonstration.

13. Exemple III. — Soit l’équation à quatre termes

$a-bx+cx^{n}-x^{r}=0\,;$

on fera

$bx\xi =cx^{n}-x^{r},$

et, par conséquent,

$\xi ={\frac {cx^{n-1}-x^{r-1}}{b}}\,;$

donc

${\begin{aligned}\xi ^{2}&={\frac {c^{2}x^{2n-2}-2cx^{n+r-2}+x^{2r-2}}{b^{2}}},\\\xi ^{3}&={\frac {c^{3}x^{3n-3}-3c^{2}x^{2n+r-3}+3cx^{n+2r-3}-x^{3r-3}}{b^{3}}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.