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sée ; moyennant quoi l’équation précédente du second degré renfermerait les deux racines communes aux deux équations proposées.

On voit par là comment il faudrait s’y prendre pour trouver les conditions qui donnent trois racines communes, ou davantage, à deux équations données ; mais dès qu’on aura trouvé la condition nécessaire pour que ces deux équations aient une racine commune, on pourra aisément en déduire celles qui rendront deux ou plusieurs racines communes.

Pour cela, supposons que les deux équations données qui renferment une même inconnue $x$ soient représentées, en général, par

$\mathrm {P} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} =0\,;$

si, au lieu de prendre $\mathrm {P} =0,$ je prends $\mathrm {P} =y,$ et que j’élimine ensuite $x$ des deux équations, j’en aurai une en $y$ que je représenterai par

$y^{m}+ay^{m-1}+\ldots +py^{2}+qy+r=0\,;$

or, pour que les deux équations $\mathrm {P} =0$ et $\mathrm {Q} =0$ aient une racine commune en sorte qu’elles puissent subsister à la fois, il faut que $y$ ait une valeur égale à zéro ; donc

$r=0$

sera la condition nécessaire pour l’existence d’une racine commune à ces deux équations ; mais si l’on veut qu’elles aient deux racines communes, alors il faudra que $y$ ait deux valeurs égales à zéro ; par conséquent on aura les deux conditions

$r=0\quad {\text{et}}\quad q=0\,;$

de même, s’il devait y avoir trois racines communes, il faudrait que $y$ eût trois valeurs égales à zéro, ce qui donnerait les trois conditions

$r=0,\quad q=0\quad {\text{et}}\quad p=0,$

et ainsi de suite.

Je remarque maintenant que pour changer l’équation $\mathrm {P} =0$ en $\mathrm {P} =y,$ ou $\mathrm {P} -y=0,$ il n’y a qu’à diminuer le dernier terme de l’équation $\mathrm {P} =0$ de la quantité $y\,;$ de sorte que si l’on suppose

$\mathrm {P} =x^{n}+\alpha x^{n-1}+\ldots +\rho ,$