même que celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur des deux quantités qui forment les premiers membres des deux équations données ; les restes que l’on aura par les divisions successives qu’il faudra faire donneront, étant égalés à zéro, les mêmes équations que celles qui proviennent de l’élimination ; le dernier reste où l’inconnue ne se trouve plus devra être égal à zéro pour que les deux quantités’proposées aient un diviseur commun du premier degré, lequel sera par conséquent l’avant-dernier reste où l’inconnue ne sera que linéaire ; de sorte qu’en égalant aussi à zéro cet avant-dernier reste on aura une valeur de l’inconnue qui sera la racine commune des deux équations.
Dans l’Exemple du no 10 les équations (A) et (B) sont celles que l’on aurait en faisant égal à zéro l’avant-dernier et le dernier reste ; par conséquent la valeur de tirée de l’équation (A) est la seule qui puisse donner en même temps une racine de l’équation proposée.
12. À l’occasion de cette remarque, nous croyons devoir encore en faire une autre touchant la manière de faire en sorte que deux équations aient plus d’une racine commune ; il est évident que si l’on veut qu’elles aient deux racines communes il faudra qu’elles soient divisibles exactement par un facteur du second degré ; par conséquent, en cherchant le plus grand commun diviseur des deux quantités qui forment les premiers membres des équations proposées, dès qu’on sera parvenu à un reste où l’inconnue se trouvera au second degré, il faudra, pour que ce reste soit un diviseur commun des deux équations, que le reste suivant soit nul de lui-même ; or ce dernier reste ne renfermera que deux termes, l’un où l’inconnue ne se trouvera pas, et l’autre où elle se trouvera à la première dimension ; c’est pourquoi il faudra faire chacun de ces termes en particulier égal à zéro, ce qui donnera deux équations contenant les conditions nécessaires pour qu’il y ait dans les proposées deux racines communes. Ce serait la même chose si l’on voulait employer la voie de l’élimination alors il faudrait s’arrêter à l’équation où l’inconnue serait au premier degré, et vérifier cette équation indépendammentde l’inconnue, en égalant à zéro l’un et l’autre des deux termes dont elle serait compo-
