d’abord dans l’expression de trouvée ci-dessus les valeurs de et qui résultent des équations précédentes, et ensuite pour les trois racines de l’équation on aura tout d’un coup les trois racines de l’équation proposée.
Or, comme des deux équations qui doivent donner et la première est du premier degré et la seconde du second, il est visible que la détermination de ces quantités ne dépendra que d’une équation du degré c’est-à-dire du second degré ; en effet, on aura d’abord
et, substituant cette valeur dans la seconde équation, on aura
d’où l’on tirera deux valeurs de qui pourront être employées indifféremment, parce qu’elles donneront toujours les mêmes valeurs de
Cette méthode a donc l’avantage de conduire immédiatement à une réduite du second degré, au lieu que par la méthode ordinaire on tombe dans une réduite du sixième ; mais la résolution qu’elle donne n’est pas pour cela exempte de l’inconvénient que nous avons remarqué dans la résolution de Cardan, et qui consiste en ce que cette résolution est plutôt celle d’une équation du sixième degré que d’une équation du troisième (2). En effet, puisque la quantité a trois valeurs, et que les quantités et en ont chacune deux, il est visible qu’il doit résulter six valeurs de lesquelles ne peuvent être par conséquent que les racines d’une équation du sixième degré ; il est vrai que ces six valeurs se réduiront à trois, dont chacune sera double, comme il est facile de le démontrer, et comme nous l’avons déjà fait voir à l’égard de la formule de Cardan.
11. Il y a une remarque importante à faire touchant cette méthode de M. Tschirnaus, c’est que, dès qu’on a trouvé les valeurs de de et de on ne doit pas prendre indifféremmentpour une des racines de l’équation supposée
