Multipliant ensuite les valeurs de
et
ensemble, on aura
![{\displaystyle r^{3}s^{3}=\mathrm {L^{2}+9\left(M^{2}+N^{2}\right)+\left(3\alpha +\alpha ^{2}\right)\left[L(M+N)+3MN\right]} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25327846c3684253df5cef333ca4a25ade121d0)
ou bien, à cause de ![{\displaystyle \alpha +\alpha ^{2}=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e43e8189f7439d2f3b18674b4554ae5d4e978b3)
![{\displaystyle r^{3}s^{3}=\mathrm {L\left[L-3(M+N)\right]+9\left[(M+N)^{2}-3MN\right]} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70dbc989d1e5f93a52ec4af7372c64fe1ec4c2e2)
or il est facile de voir que les quantités
et
doivent être données par les coefficients
de la proposée, et cela sans extraction de racines, ce qui suit de ce que ces quantités ne changent point, quelques permutations des quantités
qu’on y fasse, de sorte qu’elles ne peuvent avoir chacune qu’une valeur unique.
8. En effet, ayant
![{\displaystyle -m=a+b+c,\quad n=ab+ac+bc,\quad -p=abc,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7f4cf6c242cb73cb443d936f990cdef893b441)
on aura d’abord par les règles connues
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=m^{2}-2n,\quad a^{3}+b^{3}+c^{3}=-m^{3}+3mn-3p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f7f6172efb74e589db930021c9bf143fed9526)
et l’on trouvera de là
![{\displaystyle a^{3}b^{3}+a^{3}c^{3}+b^{3}c^{3}=n^{3}-3mnp+3p^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8d496d689934a80508a02c69b7ecbcc727839a8)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {L} =-m^{3}+3mn-9p,\\&\mathrm {M+N} =3p-mn,\\&\mathrm {MN} =n^{3}+p\left(m^{3}-6mn\right)+9p^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76159aee047e338819bb58dc03aac4daac40cf53)
d’où l’on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r^{3}+s^{3}=-2m^{3}+9mn-27p,\\&r^{3}s^{3}=m^{6}-9m^{4}n+27m^{2}n^{2}n-27n^{3}=\left(m^{2}-3n\right)^{3},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c39f84f91bf5019a0d2e1b67e4cad2689622c9)
de sorte que notre réduite sera
![{\displaystyle y^{6}+\left(2m^{3}-9mn+27p\right)y^{3}+\left(m^{2}-3n\right)^{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b89fb34c7afbc701ac457a84a8152683ba5a7c)
qui revient au même que celle qu’on a trouvée plus haut (5), en faisant seulement attention que l’inconnue
de celle-ci est triple de l’inconnue ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)