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et ainsi de suite, il est facile de voir qu’on aura, en faisant $x={\frac {a}{b}},$

${\begin{aligned}\log p\ \,p&=\log x+\xi +{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{2}\right)}{dx^{2}}}+\ldots ,\\p\ \,&=x+\xi x+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{2}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{3}\right)}{dx^{2}}}+\ldots ,\\p^{2}&=x^{2}+2\left[\xi x^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{3}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{4}\right)}{dx^{2}}}+\ldots \right],\\p^{3}&=x^{3}+3\left[\xi x^{3}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{4}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{5}\right)}{dx^{2}}}+\ldots \right],\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

(F)

$p^{m}=x^{m}+m\left[\xi x^{m}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{m+1}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{m+2}\right)}{dx^{2}}}+\ldots \right].$

Ainsi, $p$ sera une des racines de l’équation

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots ,$

ou bien, à cause de

$\xi ={\frac {cx-dx^{2}+\ldots }{b}},$

de l’équation

(G)

$a-bx+bx\xi =0,$

$\xi$ étant une fonction de $x.$

12. Exemple II. — Soit, par exemple, l’équation

$a-bx+cx^{n}=0\,;$

on aura, dans ce cas,

$bx\xi =cx^{n},$

et, par conséquent,

$\xi ={\frac {cx^{n-1}}{b}}\,;$

donc, en nommant $p$ une des racines de cette équation, on aura, en général,

$p^{m}=x^{m}+m\left({\frac {c}{b}}x^{m+n-1}+{\frac {c^{2}}{2b^{2}}}{\frac {dx^{m+2n-1}}{dx}}+{\frac {c^{3}}{2.3.b^{3}}}{\frac {d^{2}x^{m+3n-1}}{dx^{2}}}+\ldots \right)$