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$\alpha r$ et $\beta r$ ou $\alpha ^{2}r$ en soient aussi ; donc, prenant la quantité

$\mathrm {A} a+\mathrm {B} b+\mathrm {C} c$

pour $r,$ il faudra que la quantité

$\alpha \mathrm {A} a+\alpha \mathrm {B} b+\alpha \mathrm {C} c$

soit égale à une des cinq autres quantités ci-dessus ; or elle ne saurait devenir égale à

$\mathrm {A} a+\mathrm {B} c+\mathrm {C} b$

ni à

$\mathrm {A} b+\mathrm {B} a+\mathrm {C} c$

qu’en faisant $\alpha =1,$ car dans le premier cas on aurait

$\alpha \mathrm {A=A}$,

et dans le second

$\alpha \mathrm {C=C} \,;$

mais en la comparant à la quantité

$\mathrm {A} b+\mathrm {B} c+\mathrm {C} a,$

on aura

$\alpha \mathrm {A=C} ,\quad \alpha \mathrm {B=A} ,\quad \alpha \mathrm {C=B} ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {C=\alpha A,\quad B=\alpha ^{2}A} ,\quad {\text{et}}\quad \alpha ^{3}\mathrm {A=A} ,$

c’est-à-dire

$\alpha ^{3}=1\,;$

ce qui montre que $\alpha$ doit être en effet une des racines de l’équation

$\alpha ^{3}-1=0\,;$

ainsi en faisant, pour plus de simplicité, $\mathrm {A} =1,$ on aura

$\mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} =\alpha \quad {\text{et}}\quad \mathrm {C} =\alpha ^{2},$

ce qui donne les mêmes formules qu’on a trouvées plus haut en faisant abstraction du dénominateur $3.$