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c’est-à-dire

$r={\frac {a}{(1-\alpha )(1-\beta )}}+{\frac {\alpha b}{(\alpha -1)(\alpha -\beta )}}+{\frac {\beta c}{(\beta -1)(\beta -\alpha )}}.$

Or, $1,\alpha$ et $\beta$ étant (hypothèse) les trois racines de l’équation $x^{3}-1=0,$ on aura

$x^{3}=(x-1)(x-\alpha )(x-\beta ),$

et différentiant

$3x^{2}=(x-\alpha )(x-\beta )+(x-1)(x-\beta )+(x-1)(x-\alpha )\,;$

de sorte qu’en faisant successivement $x=1,\alpha ,\beta ,$ on aura

${\begin{aligned}3=&(1-\alpha )(1-\beta ),\\3\alpha ^{2}=&(\alpha -1)(\alpha -\beta ),\\3\beta ^{2}=&(\beta -1)(\beta -\alpha )\,;\end{aligned}}$

donc, substituant ces valeurs dans l’expression précédente de $r,$ on aura

$r={\frac {a}{3}}+{\frac {b}{3\alpha }}+{\frac {c}{3\beta }},$

ou bien, à cause de $\alpha \beta =l,$

$r={\frac {a+\beta b+\alpha c}{3}}.$

Telle est donc la valeur de $r,$ et par conséquent aussi de $y\,;$ de sorte qu’on aura en changeant, ce qui est permis, $\alpha$ en $\beta$ et vice versâ

$y={\frac {a+\alpha b+\beta c}{3}}.$

6. On voit d’abord par cette expression de $y$ pourquoi la réduite est nécessairement du sixième degré ; car comme cette réduite ne dépend pas immédiatement des racines $a,b,c$ de la proposée, mais seulement des coefficients $m,n,p,$ où les trois racines entrent également, il est clair que dans l’expression de $y$ on doit pouvoir échanger à volonté les quantités $a,b,c$ entre elles ; par conséquent la quantité $y$ devra avoir autant de valeurs différentes que l’on en pourra former par toutes les