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on aura ces trois valeurs de $y,$ savoir

$y=r,\quad y=\alpha r,\quad y=\beta r,$

lesquelles donneront les trois racines

$x'=r-{\frac {n'}{3r}},\quad x'=\alpha r-{\frac {n'}{3\alpha r}},\quad x'=\beta r-{\frac {n'}{3\beta r}}\,;$

d’où, à cause de $x=x'-{\frac {m}{3}},$ on aura, en faisant, pour abréger, ${\frac {n'}{3r}}=s,$ ces trois valeurs de $x,$ savoir

$-{\frac {m}{3}}+r-s,\quad -{\frac {m}{3}}+\alpha r-{\frac {s}{\alpha }},\quad -{\frac {m}{3}}+\beta r-{\frac {s}{\beta }}\,;$

donc

${\begin{aligned}a=&-{\frac {m}{3}}+\ \ r-s,\\b=&-{\frac {m}{3}}+\alpha r-{\frac {s}{\alpha }},\\c=&-{\frac {m}{3}}+\beta r-{\frac {s}{\beta }}.\end{aligned}}$

Retranchant successivement la seconde et la troisième de ces équations de la première, on aura

${\begin{aligned}a-b=&(1-\alpha )\left(r+{\frac {s}{\alpha }}\right),\\a-c=&(1-\beta )\left(r+{\frac {s}{\beta }}\right),\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {\alpha (a-b)}{1-\alpha }}=&\alpha r+s,\\{\frac {\beta (a-c)}{1-\beta }}=&\beta r+s\,;\end{aligned}}$

et retranchant de nouveau l’une de l’autre, ensuite divisant par $\alpha -\beta ,$ il viendra

$r={\frac {{\dfrac {\alpha (a-b)}{1-\alpha }}-{\dfrac {\beta (a-c)}{1-\beta }}}{\alpha -\beta }},$