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doit se rapporter la résolution des équations du troisième degré, comme nous l’avons fait plus haut (2), d’après l’équation $\mathrm {X} ^{2}=0,$ laquelle renferme toutes les mêmes racines que la proposée.

5. L’équation du sixième degré

$y^{6}+py^{3}-{\frac {n^{3}}{27}}=0$

s’appelle la réduite du troisième degré, parce que c’est à sa résolution que se réduit celle de la proposée

$x^{3}+nx+p=0.$

Or nous avons déjà vu plus haut comment les racines de cette dernière équation dépendent des racines de celle-là ; voyons réciproquement comment les racines de la réduite dépendent de celles de la proposée ; mais pour rendre cette recherche plus générale et plus lumineuse il sera bon de considérer une équation qui ait tous ses termes telle que

$x^{3}+mx^{2}+nx+p=0,$

et dont les racines soient représentées généralement par $a,b,c.$ On commencera donc par faire évanouir le second terme en supposant $x=x'-{\frac {m}{3}},$ et, faisant, pour abréger,

$n'=n-{\frac {m^{2}}{3}},\quad p'=p-{\frac {mn}{3}}+{\frac {2m^{3}}{27}},$

on aura la transformée

$x'^{3}+n'x+p'=0,$

qui a la forme requise. Faisant maintenant $x'=y-{\frac {n'}{3y}},$ on aura la réduite

$y^{6}+p'y^{3}-{\frac {n'^{3}}{27}}=0\,;$

d’où, en nommant $r$ la racine cubique de

$-{\frac {p'}{2}}+{\sqrt {{\frac {p'^{2}}{4}}+{\frac {n'^{3}}{27}}}},$