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ce qui se réduit à

$k^{3}\mathrm {X} ^{2}+h\mathrm {X} x\left(x^{2}+3k\right)-h^{2}=0,$

ou bien, à cause de $x(x^{2}+3k)=\mathrm {X} -p,$

${\frac {n^{3}}{27}}\mathrm {X} ^{2}-hp\mathrm {X} -h^{2}=0,$

c’est-à-dire à

$\left(\mathrm {X} -{\frac {27hp}{2n^{3}}}\right)^{2}-{\frac {27h^{2}}{n^{3}}}\left(1+{\frac {27p^{2}}{4n^{3}}}\right)=0.$

Maintenant il est clair qu’en faisant $k={\frac {n}{3}}$ pour avoir $x=y-{\frac {n}{3y}}$ on aura $h=0,$ ce qui réduira l’équation précédente à

$\mathrm {X} ^{2}=0,$

savoir

$\left(x^{3}+nx+p\right)^{2}=0,$

équation qui aura les mêmes racines que la proposée, mais dont chacune sera double.

De là il s’ensuit que la résolution d’une équation du troisième degré est, à proprement parler, la résolution d’une équation du sixième degré, inconvénient qui n’a pas lieu dans le second degré, dont la résolution est tout à fait propre à ce degré, mais qui devient encore plus considérable pour les équations des degrés supérieurs, comme on le verra plus bas.

3. Puis donc que parmi les six valeurs de $y$ il n’y en a que trois qui donnent des valeurs différentes de $x,$ il s’agit maintenant de distingue ces valeurs. Pour cela il faut trouver l’expression particulière de chacune des six valeurs de $y\,;$ et si l’on nomme $1,\alpha$ et $\beta$ les trois racines cubiques de l’unité, c’est-à-dire les trois racines de l’équation $x^{3}-1=0,$ il est facile de voir que les six valeurs de $y$ seront, en faisant, pour abréger, ${\frac {p^{2}}{4}}+{\frac {n^{3}}{27}}=q,$

${\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {q}}}},\quad \alpha {\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {q}}}},\quad \beta {\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {q}}}}\,;$