le nombre des racines imaginaires dans les équations qui doivent en contenir, et moins encore pour savoir combien il doit y en avoir de réelles positives et de réelles négatives, lorsqu’on connaît d’ailleurs le nombre des réelles et des imaginaires ; on n’a pas même une règle pour pouvoir s’assurer si une équation quelconque proposée doit contenir quelques racines réelles ou non, à moins que l’équation ne soit d’un degré impair, ou que son dernier terme ne soit négatif.
Ce n’est pas qu’on ne puisse toujours trouver le nombre des racines imaginaires et des racines réelles positives, ou négatives, lorsqu’on connaît la valeur numérique des coefficients de l’équation proposée ; les méthodes que j’ai données ailleurs, tant pour cet objet que pour approcher autant que l’on veut de la valeur de chaque racine, ne laissent, ce me semble, rien à désirer ; mais il s’agit ici des équations littérales, et la question est de trouver les conditions qui doivent avoir lieu entre les différents coefficients d’une équation d’un degré donné, suivant la qualité de ses racines.
À l’égard de la résolution des équations littérales, on n’est guère plus avancé qu’on ne l’était du temps de Cardan, qui le premier a publié celle des équations du troisième et du quatrième degré. Les premiers succès des Analystes italiens dans cette matière paraissent avoir été le terme des découvertes qu’on y pouvait faire ; du moins est-il certain que toutes les tentatives qu’on a faites jusqu’à présent pour reculer les limites de cette partie de l’Algèbre n’ont encore servi qu’à trouver de nouvelles méthodes pour les équations du troisième et du quatrième degré, dont aucune ne paraît applicable, en général, aux équations d’un degré plus élevé.
Je me propose dans ce Mémoire d’examiner les différentes méthodes que l’on a trouvées jusqu’à présent pour la résolution algébrique des équations, de les réduire à des principes généraux, et de faire voir à priori pourquoi ces méthodes réussissent pour le troisième et le quatrième degré, et sont en défaut pour les degrés ultérieurs.
Cet examen aura un double avantage d’un côté il servira à répandre une plus grande lumière sur les résolutions connues du troisième et du
