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ne rien laisser à désirer à nos lecteurs nous avons cru devoir le démontrer de nouveau, d’autant plus que notre démonstration a l’avantage d’avoir une très-grande généralité.

Corollaire II. — Combinant donc le Théorème précédent avec celui de la Remarque qui est après le Théorème I, on en déduira celle-ci : que tout nombre premier est nécessairement égal à la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés entiers. D’où il est aisé de conclure que tout nombre entier est aussi égal à la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés entiers ; car on sait que le produit de deux, ou de plusieurs nombres égaux chacun à la somme de quatre, ou d’un moindre nombre de carrés, est aussi nécessairement égal à la somme de quatre, ou d’un moindre nombre de carrés en effet on a

${\begin{aligned}&\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)\left(p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}+s'^{2}\right)\\&\quad =(pp'-qq'-rr'+ss')^{2}+(pq'+qp'-rs'-sr')^{2}\\&\quad +(pr'+qs'+rp'+sq')^{2}+(qr'-ps'+sp'-rq')^{2},\end{aligned}}$

et même plus généralement

$\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {B} \mathrm {C} s^{2}\right)\left(p'^{2}-\mathrm {B} q'^{2}-\mathrm {C} r'^{2}+\mathrm {BC} s'^{2}\right)$

$=\left[pp'+\mathrm {B} qq'\pm \mathrm {C} (rr'+\mathrm {B} ss')\right]^{2}-\mathrm {B} \left[pq'+qp's\pm \mathrm {C} (rs'+sr')\right]^{2}$

$-\mathrm {C} \left[pr'-\mathrm {B} qs'\pm (rp'-\mathrm {B} sq')\right]^{2}+\mathrm {BC} \left[qr'-ps'\pm (sp'-rq')\right]^{2}.$