Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/201

Ainsi Il ne reste plus qu’à prouver que l’on peut toujours prendre $q$ tel que $\mathrm {Q}$ ou $\left(\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} \right)^{\frac {\mathrm {A} -1}{2}}+1$ ne soit pas divisible par $\mathrm {A} .$

Soit, pour plus de simplicité, ${\frac {\mathrm {A} -1}{2}}=m,$ et l’on aura

$\mathrm {Q} =\mathrm {B} ^{m}q^{\mathrm {A} -1}+m\mathrm {B} ^{m-1}q^{\mathrm {A} -3}\mathrm {C} +{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {B} ^{m-2}q^{\mathrm {A} -5}\mathrm {C} ^{2}+\ldots$

$+m\mathrm {B} q^{2}\mathrm {C} ^{m-1}+\mathrm {C} ^{m}+1.$

Or si $\mathrm {C} ^{m}+1$ n’est pas divisible par $\mathrm {A} ,$ il est clair qu’il n’y aura qu’à prendre $q$ divisible par $\mathrm {A} ,$ ou bien $q=0$ car alors $\mathrm {Q}$ ne sera pas divisible par $\mathrm {A} .$

Mais si $\mathrm {C} ^{m}+1$ est divisible par $\mathrm {A} ,$ alors pour que $\mathrm {Q}$ ne le soit pas, il faudra que $q$ ne le soit pas, et que la quantité

$\mathrm {B} ^{m}q^{\mathrm {A} -3}+m\mathrm {B} ^{m-1}q^{\mathrm {A} -5}\mathrm {C} +{\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {B} ^{m-2}q^{\mathrm {A} -7}\mathrm {C} ^{2}+\ldots +m\mathrm {BC} ^{m-1}$

ne le soit pas non plus ; or on peut démontrer, comme plus haut, qu’il doit nécessairement exister une valeur de $q$ plus petite que $\mathrm {A}$ et par conséquent non divisible par $\mathrm {A} ,$ telle que la quantité dont il s’agit ne le soit pas. Car nommant $\mathrm {R}$ cette quantité, et désignant par $\mathrm {R',R'',R'''} \ldots ,$ $\mathrm {R} ^{(\mathrm {A} -2)}$ les valeurs de $\mathrm {R}$ qui résulteraient de la substitution des nombres $1,2,3,\ldots \mathrm {A} -2$ à la place de $q,$ on aura

$\mathrm {R'-(A-3)R''+{\frac {(A-3)(A-4)}{2}}R'''-\ldots +R^{(A-2)}=1.2.3\ldots (A-3)} \mathrm {B} ^{m}.$

Or comme $\mathrm {A}$ est premier et que $\mathrm {B}$ n’est pas divisible par $\mathrm {A} ,$ il est clair que le nombre $1.2.3\ldots \mathrm {(A-3)B} ^{m}$ ne le sera pas non plus ; donc, etc.

Corollaire I. — Si l’on fait $\mathrm {B} =-1$ et $\mathrm {C} =-1,$ on aura le nombre $p^{2}+q^{2}+1$ qui sera divisible par $\mathrm {A} \,;$ d’où il s’ensuit qu’étant donné un nombre premier quelconque on peut toujours trouver un nombre égal à la somme de trois carrés entiers dont l’un soit même l’unité, lequel soit divisible par le nombre premier donné.

Ce Théorème a déjà été démontré par M. Euler d’une autre manière, dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg ; mais pour